Soluções Física – Semana 154

Cinemática

a) Analisando as força em $x$ e $y$:

$\vec{F}_r=-mg\hat{y}=ma_x\hat{x}+ma_y\hat{y}$

$a_y=-g$  e  $a_x=0$

O movimento em $y$ será um MRUV e o movimento em $x$ será um MRU:

I) Em $x$:

$x(t)=x_o+v_x\cdot t$

A posição inicial na horizontal é a origem, e a velocidade em $x$ é a decomposição horizontal da velocidade inicial ($v_o\cos{\theta}$)

$\boxed{x(t)=v_o\cos{\theta}\cdot t}$

II) Em $y$:

A velocidade e a posição inicial de $y$ é análogo a $x$, porém na vertical ($y_o=0$ e $v_{oy}=v_o\sin{\theta})$.

$\boxed{v_y(t)=v_o\sin{\theta}-gt}$

$\boxed{y(t)=v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}}$

O tempo de voo será o tempo necessário para que o corpo toque novamente o solo. Ou seja: $(y(t_{voo})=0$ e $t_{voo}\neq 0)$

$y(t)=v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}=0$

$t\left(v_o\sin{\theta}-\dfrac{gt}{2}\right)=0$

$\boxed{t_{voo}=\dfrac{2v_o\sin{\theta}}{g}}$

b) A altura máxima ocorrerá quando a velocidade vertical for nula.

$v(t)=0\Rightarrow v_o\sin{\theta}-gt=0$

$t_o=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}$

Calculando a altura máxima:

$h_{max}=v_o\sin{\theta}\cdot \dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}-\dfrac{g\left(\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\right)^2}{2}$

$\boxed{h_{max}=\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$

c) O alcance será a distância horizontal percorrida durante o tempo de voo.

$A=x(t_{voo})$

$A=v_o\cos{\theta}\cdot \dfrac{2v_o\sin{\theta}}{g}$

$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{g}\cdot \sin{(2\theta)}}$

d) O alcance será máximo quando a função seno for máxima. A função se maximiza para o arco de $90^{\circ}$:

$2\theta=90^{\circ}$

$\boxed{\theta=45^{\circ}}$

e) O alcance para $\theta=45^{\circ}$ será:

$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o^2}{g}}$

a)

$\boxed{t_{voo}=\dfrac{2v_o\sin{\theta}}{g}}$

b)

$\boxed{h_{max}=\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$

c)

$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{g}\cdot \sin{(2\theta)}}$

d)

$\boxed{\theta=45^{\circ}}$

e)

$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o^2}{g}}$

Cinemática

a) Analisando as força em $x$ e $y$:

$\vec{F}_r=-mg\hat{y}=ma_x\hat{x}+ma_y\hat{y}$

$a_y=-g$  e  $a_x=0$

O movimento em $y$ será um MRUV e o movimento em $x$ será um MRU:

I) Em $x$:

$x(t)=x_o+v_x\cdot t$

A posição inicial na horizontal é a origem, e a velocidade em $x$ é a decomposição horizontal da velocidade inicial ($v_o\cos{\theta}$)

$\boxed{x(t)=v_o\cos{\theta}\cdot t}$

II) Em $y$:

A velocidade inicial de $y$ é análogo a $x$, porém na vertical ($y_o=h$ e $v_{oy}=v_o\sin{\theta})$.

$\boxed{v_y(t)=v_o\sin{\theta}-gt}$

$\boxed{y(t)=h+v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}}$

O tempo de voo será o tempo necessário para que o corpo toque novamente o solo. Ou seja: $(y(t_{voo})=0$ e $y(t)=h+v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}=0$

$\dfrac{gt^2}{2}-v_o\sin{\theta}\cdot t-h=0$

$t=\dfrac{v_o\sin{\theta}\pm\sqrt{v_o^2\sin^2{\theta}+2gh}}{2\cdot \frac{g}{2}}$

$t=\dfrac{v_o\sin{\theta}\pm v_o\sin{\theta}\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}}{g}$

$\boxed{t_{voo}=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}$

b) A altura máxima ocorrerá quando a velocidade vertical for nula.

$v(t)=0\Rightarrow v_o\sin{\theta}-gt=0$

$t_o=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}$

Calculando a altura máxima:

$h_{max}=h+v_o\sin{\theta}\cdot \dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}-\dfrac{g\left(\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\right)^2}{2}$

$\boxed{h_{max}=h+\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$

c) O alcance será a distância horizontal percorrida durante o tempo de voo.

$A=x(t_{voo})$

$A=v_o\cos{\theta}\cdot \dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)$

$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{2g}\cdot \sin{(2\theta)\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}}$

d) Suponhamos que a velocidade final faça um ângulo $\alpha$ com a horizontal.

Pela conservação da quantidade de movimento na horizontal:

$mv_o\cos{\theta}=mv_o\cos{\alpha}$

$v_o\cos{\theta}=v\cos{\alpha}$   EQ 01

Como a velocidade está apontada para baixo, então: $v_y=-v\sin{\alpha}$.

Aplicando na equação da velocidade:

$-v\sin{\alpha}=v_o\sin{\theta}-gt$

$t_{voo}=\dfrac{v_o\sin{\theta}+v\sin{\alpha}}{g}$

O alcance será:

$A=v_o\cos{\theta}\cdot t_{voo}$

$A=v_o\cos{\theta}\cdot\dfrac{v_o\sin{\theta}+v\sin{\alpha}}{g}$

$A=\dfrac{v_ov\cos{\theta}\sin{\alpha}+v_o\cos{\theta}\cdot v_o\sin{\theta}}{g}$

Utilizando a equação EQ 01 temos:

$A=\dfrac{v_ov\cos{\theta}\sin{\alpha}+v\cos{\alpha}\cdot v_o\sin{\theta}}{g}$

$A=\dfrac{v_ov(\cos{\theta}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\theta})}{g}$

$A=\dfrac{v_o\cdot v\cdot \sin{(\theta+\alpha)}}{g}$

Como $\theta+\alpha$ é o ângulo entre $\vec{v_o}$ e $\vec{v}$ temos:

$\boxed{A=\dfrac{||\vec{v_o}\times \vec{v}||}{g}}$

A velocidade final do corpo pode ser calculada através da conservação da energia mecânica:

$\dfrac{mv_o^2}{2}+mgh=\dfrac{mv^2}{2}$

$v=\sqrt{v_o^2+2gh}$

Como $||\vec{v_o}||$ e $||\vec{v}||$ são constantes, $||\vec{v_o}\times \vec{v}||$ será máximo quando $\vec{v_o}$ e $\vec{v}$ forem perpendiculares.

$\theta+\alpha=90^{\circ}$

$\cos{\alpha}=\sin{\theta}$

Usando a EQ 01:

$v_o\cos{\theta}=v\cos{\alpha}$

$v_o\cos{\theta}=\sin{\theta}\cdot \sqrt{v_o^2+2gh}$

$\boxed{\tan{\theta}=\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\right)}}$

e) O alcance máximo será:

$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o\sqrt{v_o^2+2gh}}{g}}$

a)

$\boxed{t_{voo}=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}$

b)

$\boxed{h_{max}=h+\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$

c)

$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{2g}\cdot \sin{(2\theta)\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}}$

d)

$\boxed{\tan{\theta}=\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\right)}}$

e)

$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o\sqrt{v_o^2+2gh}}{g}}$

Cinemática

Colocando a posição das partículas no plano $Oxy$:

O módulo da aceleração do corpo $2$ ao longo do plano é $a=g\sin{\theta}$. O temanho da rampa ($d$) será:

$d=\dfrac{at_2^2}{2}$

$\dfrac{h}{\sin{\theta}}=\dfrac{g\sin{\theta}\cdot t_2^2}{2}$

$h=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_2^2}{2}$

Portanto:

$\boxed{B\left(0, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_2^2}{2}\right)}$

Calculando o ponto $A$:

$\dfrac{y_a}{\sin{\theta}}=\dfrac{g\sin{\theta}\cdot t_2^2}{2}$

$y_a=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_1^2}{2}$

Para a posição horizontal:

$x_o-x_a=\dfrac{y_a}{\tan{\theta}}$

$x_a=\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}(t_1^2-t_2^2)}{2}$

Portanto:

$\boxed{A\left(\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}(t_2^2-t_1^2)}{2}, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_1^2}{2}\right)}$

Olhando agora para as equações do movimento de 1 e 2:

I) Partícula 2:

$\vec{a_2}=g\sin{\theta}\cdot (-\cos{\theta}, -\sin{\theta})$

Portanto, a posição da partícula 2 no tempo será:

$\vec{r_2}=\left(0-\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}t^2}{2}, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_2^2}{2}-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t^2}{2}\right)$

$\boxed{\vec{r_2}=-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2}{\tan{\theta}}, t^2-t_2^2\right)}$

II) Partícula 1:

$\vec{a_2}=g\sin{\theta}\cdot (\cos{\theta}, -\sin{\theta})$

Portanto, a posição da partícula 1 no tempo será:

$\vec{r_1}=\left(\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}(t_2^2-t_1^2)}{2}+\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}t^2}{2}, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_1^2}{2}-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t^2}{2}\right)$

$\boxed{\vec{r_1}=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2+t_2^2-t_1^2}{\tan{\theta}}, t_1^2-t^2\right)}$

O vetor posição relativa entre os corpos será:

$\vec{r_{21}}=\vec{r_1}-\vec{r_2}=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2+t_2^2-t_1^2}{\tan{\theta}}, t_1^2-t^2\right)-\left[-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2}{\tan{\theta}}, t^2-t_2^2\right)\right]$

$\vec{r_{21}}=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{2t^2+t_2^2-t_1^2}{\tan{\theta}}, t_1^2-t_2^2\right)$

Perceba que a distância entre os corpos na vertical é constante, logo, a distância será mínima quando a distância horizontal for nula.

$2t^2+t_2^2-t_1^2=0 \Longleftrightarrow$

$\boxed{t=\sqrt{\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2}}}$

$\boxed{t=\sqrt{\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2}}}$