Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Analisando as força em $$x$$ e $$y$$:
$$\vec{F}_r=-mg\hat{y}=ma_x\hat{x}+ma_y\hat{y}$$
$$a_y=-g$$ e $$a_x=0$$
O movimento em $$y$$ será um MRUV e o movimento em $$x$$ será um MRU:
I) Em $$x$$:
$$x(t)=x_o+v_x\cdot t$$
A posição inicial na horizontal é a origem, e a velocidade em $$x$$ é a decomposição horizontal da velocidade inicial ($$v_o\cos{\theta}$$)
$$\boxed{x(t)=v_o\cos{\theta}\cdot t}$$
II) Em $$y$$:
A velocidade e a posição inicial de $$y$$ é análogo a $$x$$, porém na vertical ($$y_o=0$$ e $$v_{oy}=v_o\sin{\theta})$$.
$$\boxed{v_y(t)=v_o\sin{\theta}-gt}$$
$$\boxed{y(t)=v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}}$$
O tempo de voo será o tempo necessário para que o corpo toque novamente o solo. Ou seja: $$(y(t_{voo})=0$$ e $$t_{voo}\neq 0)$$
$$y(t)=v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}=0$$
$$t\left(v_o\sin{\theta}-\dfrac{gt}{2}\right)=0$$
$$\boxed{t_{voo}=\dfrac{2v_o\sin{\theta}}{g}}$$
b) A altura máxima ocorrerá quando a velocidade vertical for nula.
$$v(t)=0\Rightarrow v_o\sin{\theta}-gt=0$$
$$t_o=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}$$
Calculando a altura máxima:
$$h_{max}=v_o\sin{\theta}\cdot \dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}-\dfrac{g\left(\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\right)^2}{2}$$
$$\boxed{h_{max}=\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$$
c) O alcance será a distância horizontal percorrida durante o tempo de voo.
$$A=x(t_{voo})$$
$$A=v_o\cos{\theta}\cdot \dfrac{2v_o\sin{\theta}}{g}$$
$$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{g}\cdot \sin{(2\theta)}}$$
d) O alcance será máximo quando a função seno for máxima. A função se maximiza para o arco de $$90^{\circ}$$:
$$2\theta=90^{\circ}$$
$$\boxed{\theta=45^{\circ}}$$
e) O alcance para $$\theta=45^{\circ}$$ será:
$$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o^2}{g}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{t_{voo}=\dfrac{2v_o\sin{\theta}}{g}}$$
b)
$$\boxed{h_{max}=\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$$
c)
$$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{g}\cdot \sin{(2\theta)}}$$
d)
$$\boxed{\theta=45^{\circ}}$$
e)
$$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o^2}{g}}$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Analisando as força em $$x$$ e $$y$$:
$$\vec{F}_r=-mg\hat{y}=ma_x\hat{x}+ma_y\hat{y}$$
$$a_y=-g$$ e $$a_x=0$$
O movimento em $$y$$ será um MRUV e o movimento em $$x$$ será um MRU:
I) Em $$x$$:
$$x(t)=x_o+v_x\cdot t$$
A posição inicial na horizontal é a origem, e a velocidade em $$x$$ é a decomposição horizontal da velocidade inicial ($$v_o\cos{\theta}$$)
$$\boxed{x(t)=v_o\cos{\theta}\cdot t}$$
II) Em $$y$$:
A velocidade inicial de $$y$$ é análogo a $$x$$, porém na vertical ($$y_o=h$$ e $$v_{oy}=v_o\sin{\theta})$$.
$$\boxed{v_y(t)=v_o\sin{\theta}-gt}$$
$$\boxed{y(t)=h+v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}}$$
O tempo de voo será o tempo necessário para que o corpo toque novamente o solo. Ou seja: $$(y(t_{voo})=0$$ e $$t_{voo}> 0)$$
$$y(t)=h+v_o\sin{\theta}\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}=0$$
$$\dfrac{gt^2}{2}-v_o\sin{\theta}\cdot t-h=0$$
$$t=\dfrac{v_o\sin{\theta}\pm\sqrt{v_o^2\sin^2{\theta}+2gh}}{2\cdot \frac{g}{2}}$$
$$t=\dfrac{v_o\sin{\theta}\pm v_o\sin{\theta}\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}}{g}$$
$$\boxed{t_{voo}=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}$$
b) A altura máxima ocorrerá quando a velocidade vertical for nula.
$$v(t)=0\Rightarrow v_o\sin{\theta}-gt=0$$
$$t_o=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}$$
Calculando a altura máxima:
$$h_{max}=h+v_o\sin{\theta}\cdot \dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}-\dfrac{g\left(\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\right)^2}{2}$$
$$\boxed{h_{max}=h+\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$$
c) O alcance será a distância horizontal percorrida durante o tempo de voo.
$$A=x(t_{voo})$$
$$A=v_o\cos{\theta}\cdot \dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)$$
$$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{2g}\cdot \sin{(2\theta)\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}}$$
d) Suponhamos que a velocidade final faça um ângulo $$\alpha$$ com a horizontal.
Pela conservação da quantidade de movimento na horizontal:
$$mv_o\cos{\theta}=mv_o\cos{\alpha}$$
$$v_o\cos{\theta}=v\cos{\alpha}$$ EQ 01
Como a velocidade está apontada para baixo, então: $$v_y=-v\sin{\alpha}$$.
Aplicando na equação da velocidade:
$$-v\sin{\alpha}=v_o\sin{\theta}-gt$$
$$t_{voo}=\dfrac{v_o\sin{\theta}+v\sin{\alpha}}{g}$$
O alcance será:
$$A=v_o\cos{\theta}\cdot t_{voo}$$
$$A=v_o\cos{\theta}\cdot\dfrac{v_o\sin{\theta}+v\sin{\alpha}}{g}$$
$$A=\dfrac{v_ov\cos{\theta}\sin{\alpha}+v_o\cos{\theta}\cdot v_o\sin{\theta}}{g}$$
Utilizando a equação EQ 01 temos:
$$A=\dfrac{v_ov\cos{\theta}\sin{\alpha}+v\cos{\alpha}\cdot v_o\sin{\theta}}{g}$$
$$A=\dfrac{v_ov(\cos{\theta}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\theta})}{g}$$
$$A=\dfrac{v_o\cdot v\cdot \sin{(\theta+\alpha)}}{g}$$
Como $$\theta+\alpha$$ é o ângulo entre $$\vec{v_o}$$ e $$\vec{v}$$ temos:
$$\boxed{A=\dfrac{||\vec{v_o}\times \vec{v}||}{g}}$$
A velocidade final do corpo pode ser calculada através da conservação da energia mecânica:
$$\dfrac{mv_o^2}{2}+mgh=\dfrac{mv^2}{2}$$
$$v=\sqrt{v_o^2+2gh}$$
Como $$||\vec{v_o}||$$ e $$||\vec{v}||$$ são constantes, $$||\vec{v_o}\times \vec{v}||$$ será máximo quando $$\vec{v_o}$$ e $$\vec{v}$$ forem perpendiculares.
$$\theta+\alpha=90^{\circ}$$
$$\cos{\alpha}=\sin{\theta}$$
Usando a EQ 01:
$$v_o\cos{\theta}=v\cos{\alpha}$$
$$v_o\cos{\theta}=\sin{\theta}\cdot \sqrt{v_o^2+2gh}$$
$$\boxed{\tan{\theta}=\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\right)}}$$
e) O alcance máximo será:
$$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o\sqrt{v_o^2+2gh}}{g}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{t_{voo}=\dfrac{v_o\sin{\theta}}{g}\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}$$
b)
$$\boxed{h_{max}=h+\dfrac{v_o^2\sin^2{\theta}}{2g}}$$
c)
$$\boxed{A=\dfrac{v_o^2}{2g}\cdot \sin{(2\theta)\cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v_o^2\sin^2{\theta}}}\right)}}$$
d)
$$\boxed{\tan{\theta}=\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\dfrac{v_o}{\sqrt{v_o^2+2gh}}\right)}}$$
e)
$$\boxed{A_{max}=\dfrac{v_o\sqrt{v_o^2+2gh}}{g}}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Colocando a posição das partículas no plano $$Oxy$$:
O módulo da aceleração do corpo $$2$$ ao longo do plano é $$a=g\sin{\theta}$$. O temanho da rampa ($$d$$) será:
$$d=\dfrac{at_2^2}{2}$$
$$\dfrac{h}{\sin{\theta}}=\dfrac{g\sin{\theta}\cdot t_2^2}{2}$$
$$h=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_2^2}{2}$$
Portanto:
$$\boxed{B\left(0, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_2^2}{2}\right)}$$
Calculando o ponto $$A$$:
$$\dfrac{y_a}{\sin{\theta}}=\dfrac{g\sin{\theta}\cdot t_2^2}{2}$$
$$y_a=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_1^2}{2}$$
Para a posição horizontal:
$$x_o-x_a=\dfrac{y_a}{\tan{\theta}}$$
$$x_a=\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}(t_1^2-t_2^2)}{2}$$
Portanto:
$$\boxed{A\left(\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}(t_2^2-t_1^2)}{2}, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_1^2}{2}\right)}$$
Olhando agora para as equações do movimento de 1 e 2:
I) Partícula 2:
$$\vec{a_2}=g\sin{\theta}\cdot (-\cos{\theta}, -\sin{\theta})$$
Portanto, a posição da partícula 2 no tempo será:
$$\vec{r_2}=\left(0-\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}t^2}{2}, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_2^2}{2}-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t^2}{2}\right)$$
$$\boxed{\vec{r_2}=-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2}{\tan{\theta}}, t^2-t_2^2\right)}$$
II) Partícula 1:
$$\vec{a_2}=g\sin{\theta}\cdot (\cos{\theta}, -\sin{\theta})$$
Portanto, a posição da partícula 1 no tempo será:
$$\vec{r_1}=\left(\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}(t_2^2-t_1^2)}{2}+\dfrac{g\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}t^2}{2}, \dfrac{g\sin^2{(\theta)}t_1^2}{2}-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}t^2}{2}\right)$$
$$\boxed{\vec{r_1}=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2+t_2^2-t_1^2}{\tan{\theta}}, t_1^2-t^2\right)}$$
O vetor posição relativa entre os corpos será:
$$\vec{r_{21}}=\vec{r_1}-\vec{r_2}=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2+t_2^2-t_1^2}{\tan{\theta}}, t_1^2-t^2\right)-\left[-\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{t^2}{\tan{\theta}}, t^2-t_2^2\right)\right]$$
$$\vec{r_{21}}=\dfrac{g\sin^2{(\theta)}}{2}\cdot \left(\dfrac{2t^2+t_2^2-t_1^2}{\tan{\theta}}, t_1^2-t_2^2\right)$$
Perceba que a distância entre os corpos na vertical é constante, logo, a distância será mínima quando a distância horizontal for nula.
$$2t^2+t_2^2-t_1^2=0 \Longleftrightarrow$$
$$\boxed{t=\sqrt{\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2}}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{t=\sqrt{\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2}}}$$
[/spoiler]