Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio
Iniciante
Gravitação e Lei de Newton
Intermediário
Termodinâmica, Gravitação e Oscilações
a) No equilíbrio, a pressão interna deve equilibrar a força gravitacional. A força devido à pressão do gás é:
Em que , isto é, a área da esfera. A força gravitacional devido a um corpo esférico homogêneo é:
Logo, a condição de equilíbrio é:
b) Aplicando a segunda lei de Newton para a casca esférica:
Logo:
e
c) Para processos adiabáticos, vale a relação:
Em que e
são a pressão e o volume do gás, respectivamente, e
é uma constante. Logo:
Mas o volume de uma esfera é , assim:
d) Agora que temos uma relação entre a pressão e o raio, podemos usar o resultado do item c) no item b). Logo:
Vamos supor que, depois que o cometa passou, o raio aumentou em . Assim, aplicando a relação
:
Note que, na segunda linha, usamos a aproximação de Taylor fornecida no começo do problema, já que a razão é muito pequena. Além disso, é importante lembrar do resultado encontrado no item a),
, para fazer algumas simplificações:
Para que o movimento seja um MHS, a força resultante (lado esquerdo da equação) deve ser da forma , em que
é uma constante positiva. Portanto:
\dfrac{4}{3}}" />
e) Usando o valor de na expressão do item d):
Logo, a frequência angular do movimento é:
Então o período vale:
a)
b)
e
c)
d)
\dfrac{4}{3}}" />
e)
Avançado
Termodinâmica e Gravitação
a) Primeiramente, podemos encontrar a pressão exercida por um sistema na parede de uma caixa:
mas:
Finalmente, utilizando a relação para pressão:
Para um gás de fótons , tal que obtemos a equação de estado do tipo
, ou seja:
b) Escrevendo a Primeira Lei da Termodinâmica para o sistema:
diferenciando:
utilizando uma das relações de Maxwell:
Logo;
Agora, utilizando a equação de estados para um fóton
![P = \dfrac{u}{3}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1b8f0a1a5784dbd6648f1865d1f47806.gif?w=640&ssl=1)
c) Integrando a equação anterior:
Para normalizar a função, note que a intensidade é dada por:
Mas, sabemos que:
Logo:
Então:
E, por fim:
d) Nesse caso, haverá, na superfície da estrelas, pressões devido à radiação e ao gás ideal e essas serão responsáveis pelo equilíbrio hidrostático da parcela adicional de poeira. Sabemos, pela equação de equilíbrio hidrostático, que:
A pressão total
![P](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.gif?w=640&ssl=1)
![P_r = \dfrac{4 \sigma T^4}{3c}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_baca87090f52727eddab00b2aa646e4f.gif?w=640&ssl=1)
![P_G = \dfrac{\rho}{\mu}k_B T](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_6d2c03a43e70e661b97a18e26ebc79c8.gif?w=640&ssl=1)
Aplicando a equação acima pra fotosfera estelar, teremos que
![r = R](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_355a505a98a555ad4d375d31f699d23c.gif?w=640&ssl=1)
![m(R) = M](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3e095cb4ffe300ad00c7a402ef79b158.gif?w=640&ssl=1)
![dr \approx \Delta r](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_6369994b72cc69c88ce487ef6d415658.gif?w=640&ssl=1)
![\Delta r](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a009112706b6e9491021b9f2e0b700a2.gif?w=640&ssl=1)
![dT(R) = \Delta T](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_52414e477d457d81aff23ff0d0e81cf4.gif?w=640&ssl=1)
![d\rho(R) = -\rho(R)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_fe21f2ad7c44bab4759a205f3885e7f7.gif?w=640&ssl=1)
![\rho(R)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7deb1fe8747eed15c756a0b2f66331c8.gif?w=640&ssl=1)
![0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.gif?w=640&ssl=1)
Note que:
Logo:
Por fim, note que:
a) Demonstração.
b) Demonstração.
c) Demonstração.
d)