Escrito por Matheus Felipe R. Borges
Iniciante
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Lançamentos
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Primeiramente, para facilitar a resolução do problema vamos decompor gravidade em dois eixos, um paralelo à base da caixa (chamado de $$\hat{x}$$) e um perpendicular à base (chamado de $$\hat{y}$$).
Figura 1: Decompondo a gravidade.
Assim nossa análise se reduz á ver se o grilo consegue atingir o limite do eixo $$\hat{y}$$, pois o movimento em $$\hat{x}$$ sempre pode ser compensado com a posição do grilo na caixa.
Figura 2: Caso limite.
No caso limite, a velocidade $$u$$ é a velocidade exata para o grilo sair da caixa, lançado na direção $$\hat{y}$$. Portanto, analisando o movimento em $$\hat{y}$$ (usando que o grilo para na direção $$\hat{y}$$ assim que atinge o topo da caixa e a equação de Torricelli) temos:
$$u^2=2g\cos{\theta}h$$
Assim achamos o valor mínimo do ângulo:
$$\cos{\theta}=\dfrac{u^2}{2gh}$$
$$\cos\theta=0,87$$
$$\boxed{\theta\approx{30^{\circ}}}$$
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$$\theta\approx{30^{\circ}}$$
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Intermediário
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Dinâmica/Lançamentos
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Existem dois pontos críticos onde a tração da corda muda bruscamente. O primeiro é o quando a corda bate no pino, no ponto mais baixo, pois o raio de curvatura da trajetória da esfera muda quase que instantaneamente de $$L$$ para $$L-d$$, ou seja, a mudança de tração instantânea é
$$T_a-mg=\dfrac{mv^2}{L}$$
$$T_d-mg=\dfrac{mv^2}{L-d}$$
$$\Delta{T}=T_d-T_a=\dfrac{mv^2}{L-d}-\dfrac{v^2}{L}$$
$$\Delta{T}=\dfrac{mv^2d}{L(L-d)}$$
Onde $$v$$ é a velocidade no ponto mais baixo, que podemos encontrar pela conservação da energia
$$mgL=\dfrac{mv^2}{2}$$
$$v^2=2gL$$
Logo
$$\Delta{T}=\dfrac{2mgd}{(L-d)}$$
Como dito no enunciado $$\Delta{T}<40\,N$$ para que o fio não quebre, como a massa vale $$1\,Kg$$ temos
$$\dfrac{20d}{(L-d)}<40$$
Ou seja,
$$d<\dfrac{2L}{3}$$
O segundo ponto crítico ocorre caso a tração na corda se torne nula e a esfera seja lançada, pois quando a esfera colidir com a corda novamente haverá um impulso muito grande em um intervalo de tempo infinitesimal, ou seja, a tração varia bruscamente, o que faria a corda romper. Então para evitar que a corda se rompa, a esfera deve completar o loop, assim devemos calcular os valores de $$d$$, onde a esfera completa o loop.
O problema de completar o loop é um problema clássico, onde se sabe que para dar uma volta em um loop de raio $$R$$ a velocidade deve ser $$v>\sqrt{5gR}$$, então como o raio do loop é $$R=L-d$$ temos
$$2gL>5g(L-d)$$
$$d>\dfrac{3L}{5}$$
Portanto, para que o fio não quebre precismos que
$$\boxed{\dfrac{2L}{3}>d>\dfrac{3L}{5}}$$
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$$\dfrac{2L}{3}>d>\dfrac{3L}{5}$$
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Avançado
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Magnetismo/Lançamentos
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Primeiramente encontraremos a coordenada máxima. Nesse caso, a trajetória da partícula é circular porque a força $$F=evB$$ aplicada pelo campo magnético tem valor constante e sempre é perpendicular à velocidade. Podemos encontrar o raio igualando a força magnética à força centrípeta.
$$\dfrac{mv^2}{R}=evB$$
$$R=\dfrac{mv}{eB}$$
Todos os elétrons se movem em um círculo de mesmo raio e podemos encontrar as diferentes trajetórias dos elétrons lançados com ângulos diferentes apenas rodando esse círculo em torno do ponto $$O$$. Um elétron atinge o ponto mais alto, quando a distância dele ao ponto $$O$$ é máxima, ou seja, o elétron percorre exatamente meio círculo, veja a figura:
Figura 3: y-máximo.
Como a fonte está a uma distância $$a$$ da tela, podemos encontrar a distância máxima pelo teorema de Pitágoras.
$$b=\sqrt{4R^2-a^2}$$
$$\boxed{b=\sqrt{4\left(\dfrac{mv}{eB}\right)^2-a^2}}$$
Rodando novamente o círculo em torno do ponto $$O$$ achamos que a distância mínima ocorre quando o círculo tangencia a tela.
Figura 4: y-mínimo.
Como a distância $$QT$$ é $$R-a$$, podemos novamente encontrar a distância pelo teorema de Pitágoras.
$$y_{min}=-\sqrt{R^2-(R-a)^2}=-\sqrt{2Ra-a^2}$$
$$\boxed{y_{min}=-\sqrt{\dfrac{2amv}{eB}\-a^2}}$$
O ponto de máximo brilho, ocorre no $$y_{max}$$, pois é la que uma pequena variação no angulo não varia a posição que o elétron cai
$$\dfrac{dy}{d\alpha}$$
veja a figura:
Figura 4: Lançamento de muitos elétrons.
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$${y_{max}=\sqrt{4\left(\dfrac{mv}{eB}\right)^2-a^2}}$$
$${y_{min}=-\sqrt{\dfrac{2amv}{eB}-a^2}}$$
Próximo ao máximo.
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