Soluções Física - Semana 93

Calorimetria.

Primeiro devemos saber o calor necessário para que cada parte da água mude de estado físico. Para o gelo derreter, o calor cedido a ele deve ser:

$Q_f = 10*80 =800$ $cal$

Para o vapor condensar ele deve liberar:

$Q_c = 10*(-540) = -5400$ $cal$

Logo pode-se observar que o vapor pode fornecer muito mais energia do que a necessária para derreter o gelo, mudando apenas de estado. O gelo então descongela, condensando um pouco do vapor. A partir dai teremos $2$ partes da água, uma à $0$ $^oC$ e outra a $50$ $^oC$. O vapor ainda pode fornecer $5400-800=4600$ $cal$ de energia para as porções de água. Para chegarem à $100$ $^oC$ elas precisam receber:

$Q_a = 10*1*(100-0) +10*1*(100-50)$

$Q_a = 1000+500$

$Q_a =1500$ $cal$

Logo ambas as porções de água conseguem chegar aos $100$ $^oC$, atingindo o equilíbrio térmico. O vapor teve que fornecer no total ao sistema:

$Q_v = 800 +1500 =2300$ $cal$

Esse calor é devido ao condensamento do vapor, logo foi condensado uma massa de água de:

$m = \dfrac{2300}{540}$

$m = \dfrac{115}{27}$

$m \approx 4,3$ $g$

No final, teremos então o sistema a $100^oC$ com $24,3$ $g$ de água e $5,7$ $g$ de vapor de água.

No final, teremos então o sistema a $100^oC$ com $24,3$ $g$ de água e $5,7$ $g$ de vapor de água.

Gravitação, Energia.

Para uma dada massa de teste $m$, a energia potencial gravitacional vai ser proporcional à:

$U \propto \dfrac{GMm}{L}$

Onde $G$ é a constante gravitacional, $M$ é a massa do corpo a ser estudado e $L$ é a distância entre seus $CM$. Suponhamos um cubo de massa $M$ e de lado $l$, e a massa de teste está em um de seus vértices.

Neste caso, a densidade do cubo vai ser:

$\rho = \dfrac{M}{a^3}$

A energia potencial gravitacional que a massa $m$ vai ter vai ser proporcional à:

$U_{ponta} \propto \dfrac{GM}{\sqrt{\dfrac{3}{4}a^2}}$

$U_{ponta} \propto \dfrac{GM}{a}$

Pois os números entram na constante proporcional.

Podemos dizer já que esta constante tem um certo valor $\alpha$, daí:

$U_{ponta} = \alpha \dfrac{GM}{a}$

Quando colocamos $m$ no centro do cubo, podemos imaginar que $m$ está na verdade rodeada por $8$ cubos idênticos de massa $\dfrac{M}{8}$ que possuem um dos vértices em $m$. A aresta $b$ deste cubo vai ser:

$\rho = cte$

$\dfrac{M}{a^3} = \dfrac{M}{8b^3}$

$b = \dfrac{a}{2}$

Também se pode ver isso desenhando o cubo cortado em $8$ pedaços. Já que a energia potencial é um escalar, podemos somar a contribuição de cada cubinho para a energia total de $m$. Temos então:

$U_{centro} = \alpha 8\dfrac{GM}{8b}$

$U_{centro} = \alpha \dfrac{2GM}{a}$

Daí:

$U_{centro} = 2\left(\alpha \dfrac{GM}{a} \right)$

$U_{centro} = 2 U_{ponta}$

$\dfrac{U_{ponta}}{U_{centro}} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{U_{ponta}}{U_{centro}} = \dfrac{1}{2}$

Referenciais não Inerciais, Coordenadas Cilíndricas.

Considere no referencial do centro do circulo. O pivô estará girando em torno dele com velocidade angular $\omega$, e o pêndulo estará oscilando em torno deste pivô. Temos então que o referencial do pivô é um referencial girante. Neste referencial, a segunda lei de Newton precisa de uma "correção" pela consideração de forças fictícias ou forças de inércia. Num referencial girante de velocidade angular constante, a segunda lei de Newton pode ser escrita como:

$m \vec {a}_{girante} = m \vec {a}_{fixado} -m \vec {a}_{referencial} -2 \vec {\omega} \times \vec {v}_{girante} - \vec {\omega} \times \left( \vec {\omega} \times \vec {r}_{girante}\right)$

Onde $r_{girante}$, $v_{girante}$, $a_{girante}$ são a posição, velocidade e aceleração da partícula de massa $m$ (a massa do pêndulo) no referencial girante (pivô), $a_{fixado}$ é a aceleração da massa no referencial não girante (centro do circulo) e $a_{referencial}$ é a aceleração translacional do referencial girante em relação ao referencial parado (pivô em relação ao centro do círculo).

Utilizando coordenadas cilíndricas, adotamos o $\vec {\omega}$ apontando para fora da tela no eixo $z$ sendo positivo. No referencial fixado, a única força atuante vai ser a tração do fio. desse jeito:

$\vec {T} = m \vec {a}_{fixado}$

E aponta radialmente no sistema de coordenadas girantes.

O termo translacional corresponde apenas ao movimento circular que o pivô faz em torno do centro do círculo. Assim, vai ser:

$m {a_{referencial}} = m \omega^2 R$

E aponta do pivô para o centro do círculo.

No referencial girante, a velocidade da massinha aponta tangencialmente ao fio, e como o fio aponta no sentido do radial, a sua velocidade vai ser tangencial também. Desta forma temos:

Vendo a direção de cada componente, temos que:

$m \vec {a}_{fixado}$ é radial. ($\vec {T}$)

$-m \vec {a}_{referencial}$ aponta para baixo. ($\vec {F}_{Trans}$)

$-2 \vec {\omega} \times \vec {v_{girante}}$ aponta radialmente. ($\vec {F}_{Cor}$)

$-\vec \omega \times \left( \vec {\omega} \times \vec {r_{girante}}\right)$ é radial. ($\vec {F}_{Cent}$)

Assim, temos a seguinte configuração de forças:

Os termos radiais não gerarão torque em relação ao pivô, sendo o termo $\vec {F_{Trans}}$ unicamente responsável por isso. Desta forma, o torque gerado por esta força vai ser:

$\tau = I \alpha = ml^2 \alpha$

$\tau = -m\omega^2 R lsen(\theta)$

$ml^2 \alpha = - m \omega^2 R l sen(\theta)$

$\alpha = - \dfrac{\omega^2 R}{l} sen(\theta)$

Como $\omega^2 R=g$:

$\alpha = -\dfrac{g}{l}sen(\theta)$

Que é a mesma equação de movimento encontrada para um pêndulo simples na Terra.

Demonstração.