Dijkstra

Aula por Lúcio Cardoso

Imagine que temos um grafo com N vértices e M arestas, cada uma delas contendo um peso (um valor positivo arbitrário). Além disso, é dado um vértice S qualquer do grafo. O problema do Menor Caminho consiste em calcular, para cada vértice V, a menor distância de S para V, isto é, a menor soma possível de pesos de arestas que formem um caminho de S para V.

Como um exemplo, se definirmos a origem S como o vértice 1 do grafo acima, teremos que:

  • O menor caminho para o vértice 1 é 0.
  • O menor caminho para o vértice 2 é 4.
  • O menor caminho para o vértice 3 é 7.
  • O menor caminho para o vértice 4 é 5.
  • O menor caminho para o vértice 5 é 1.

Algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de Dijkstra é usado para resolver o problema citado acima. Ele consiste das seguintes etapas:

  1. Inicialmente, marque todos os vértices do grafo como não visitados. Além disso, defina a distância atual para S (origem) como 0 e para todos os outros vértices como \infty.
  2. Encontre, dentre os vértices não visitados, aquele com menor distância atual. Chame-o de U e marque-o como visitado. Assim, a distância atual de U é, de fato, a sua menor distância para S e U não será visitado novamente.
  3. Para todo vizinho de V de U, cheque se d_{at}(S, V) > d(S, U) + w(U, V), onde d_{at}(S, V) é a distância atual de V, d(S, U) é o menor caminho de U e w(U, V) é o peso da aresta que liga U e V. Se sim, atualize a distância atual de V para d(S, u) + w(u, v).
  4. Repita as etapas 2 e 3 até que todos os vértices do grafo estejam marcados.

Por que o Algoritmo de Dijkstra funciona?

Suponha que em um momento qualquer do algoritmo, o vértice V é o vértice não marcado mais próximo de S, ou seja, aquele cujo menor caminho para S é mínimo. Perceba que o menor caminho de S para V é composto pelo menor caminho de S para algum vértice U seguido de uma aresta de U para V. Como as arestas tem pesos positivos, o menor caminho de U é certamente menor que o menor caminho de V. Logo, como V é definido como o vértice não marcado de menor caminho mínimo, teremos que o vértice U certamente já foi marcado. Porém, assim que U for marcado, a etapa 3 do algoritmo será realizada em seus vizinhos, e em particular, a distância atual de V será atualizada para d(S, U) + w(U, V), que é exatamente o menor caminho de V!

Queremos agora provar que o vértice escolhido na etapa 2 é exatamente o vértice V. Suponha que o vértice não marcado de menor distância atual é um vértice W \neq V. Então, teremos que

d_{at}(S, W) < d_{at}(S, V).

Como mostrado acima,

d_{at}(S, V) = d(S, V) \implies d_{at}(S, W) < d(S, V).

Mas

d(S, W) \leq d_{at}(S, W) (por definição) \implies d(S, W) < d(S, V)

uma contradição, já que V foi definido como o vértice não marcado de menor caminho mínimo. Logo, V será o vértice escolhido na etapa 2 do algoritmo, e além disso, sua distância atual será igual à sua menor distância para S, o que conclui a prova.

Para implementar o algoritmo de Dijkstra, representaremos o nosso grafo como uma Lista de Adjacência. Além disso, vamos usar uma Fila de Prioridade que irá guardar pares da forma (d_{at}(v), v), ou seja, a fila será ordenada de maneira crescente pela distância atual de cada vértice. Isso será de grande utilidade para realizarmos a etapa 2 de maneira eficiente.

Observação

O algoritmo apresentado acima funciona em grafos com arestas de pesos não-negativos e não funciona caso alguma delas tenha peso negativo.

Confira o código abaixo: