Guia de Fatorações Bizus

Primeiro começaremos com uma formalidade. Caso a notação polinomial acabe complicado demais as coisas, sinta-se a vontade para pular a demonstração.

 

Teorema da Fatoração Polinomial. Se $P(X)$ é um polinômio de coeficientes complexos e $r$ é um complexo tal que $P(r)=0$, então existe um polinômio $Q(X)$ de coeficientes complexos tal que

$P(X)=(X-r)Q(X)$

Prova. Considere a divisão longa de polinômios

$P(X)=(X-r)a(X) +b(X)$

com $\deg b < \deg (X-r)=1$. Então $b(X)=b$ é um polinômio constante.

Agora basta ver que $P(r)=(r-r)a(r)+b$, logo $b=0$ e basta tomar $Q(X)=a(X)$.

 

Show! Mas e daí?

 

O ponto é que agora podemos utilizar isso ao nosso favor. Isso nos dá uma boa dica de como fatorar as coisas. Vejamos um exemplo.

Se desejarmos fatorar a expressão $x^3+5x^2-7x-26$, qual é um jeito interessante de começar a pensar em como?

Temos dois lembretes nesse ponto da história

Primeiro: nem todo polinômio pode ser fatorado em fatores racionais, então pode ser que a fatoração da expressão acabe com um fator $x^2 +\sqrt{13}x -\sqrt{26}$ (quem sabe!)

Segundo: Podemos usar o resultado que acabamos de ver para chutar um fator!

 

Testando $x=0,1,2$, vemos que nossos valores acabam não encaixando dentro do polinômio. Mas e se formos para os números negativos?

Acabamos encontrando que $(-2)^3 +5 (-2)^2 -7 (-2)-26= -8+20+14-26=0$. Ou seja, podemos fazer a divisão longa por polinômios e encontrar

$x^3+5x^2-7x-26=(x-(-2))(x^2+3x-13)$

Agora vamos supor o seguinte: passei bastante tempo procurando uma raiz para fatorar meu polinômio e não encontrei nada, o que faço?

Nesse caso, há um critério que ajuda bastante a limitar os candidatos de raízes racionais a uma quantidade bem limitada delas.

 

Critério da Raiz Racional. Seja $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ um polinômio de coeficientes inteiros e $\frac{p}{q}$ uma raiz racional de $f$, onde $p,q$ são inteiros primos entre si. Então $p|a_0$ e $q|a_n$.

Prova. Basta abrir as contas

$a_np^n +a_{n-1}p^{n-1}q+...+a_1pq^{n-1}+a_0q^n = 0$

Olhando divisibilidade por $p$, $p|a_0 q^n$, logo $p|a_0$. De mesma forma, $q|a_n$.