Como resolver problemas de matemática

Resolver um problema de matemática vai muito além de apenas sua inteligência ou do seu conhecimento no assunto. Muitas vezes isso vai depender de se você já viu um problema parecido, já conhecia a ideia, teve garra de se envolver nos vários casos e contas, e até mesmo ter sorte.

Neste material, vou tentar passar duma forma dinâmica algumas coisas que podem te ajudar a resolver problemas mais difíceis de matemática.

Exemplo 1. Ache todas as funções $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ satisfazendo, para todos $x,y$ reais positivos, a equação:

$f(x+y+f(y))=4030x-f(x)+f(2016y)$

Resolvendo o problema:

O primeiro ponto que quero ressaltar é o seguinte: geralmente as ideias com maior custo-benefício são aquelas mais simples. (Nesse caso, tempo-benefício) Uma observação a se fazer é que simples não significa fácil.

Temos 3 valores "distintos" dentro dos $f$'s. No começo do problema não sabemos quem são esses $f$'s, apenas que são reais positivos. Para simplificar a equação, vamos tomar valores de $x$ e $y$ que resultem em termos cortando.

Existem duas maneiras de se fazer isso:

A primeira está bem na cara: Tome $x=2016y$. Daí:

$f(2017y+f(y))=4030 . 2016y    (1)$

Note que apagamos todos os $f$'s do lado direito e só nos sobrou um $f$ do lado de fora no lado esquerdo. Veja que nossa função é sobrejetora.

Depois que fizemos essa primeira substituição já descobrimos várias coisas novas sobre a função. Vamos fazer agora a segunda substituição:

Tome $x=2016y-y-f(y)$, logo:

$0=4030(2015y-f(y))-f(2015y-f(y))$

$f(x)=4030x    (2)$

(Para esse valor de $x$).

Certo? ... Errado!

Isso me faz introduzir o segundo ponto em que eu quero chegar: Fique sempre atento para não assumir coisas que podem ser falsas.

Nosso problema fala de $x,y$ reais positivos, mas não temos nenhuma garantia de que $x=2015y-f(y)$ vai ser um real positivo. No entanto, se ele for, a equação (2) será válida.

Agora eu entro em um terceiro ponto: Procure explorar o máximo das peculiaridades do problema.

Acabamos de "perder" uma equação em potencial por estarmos mexendo com reais positivos, mas podemos ganhar informações com isso também. Olhe para a equação principal e veja que temos:

$4030x-f(x)+f(2016y)>0$

Mas como $f$ é sobrejetora, $f(2016y)$ passa por todos os reais positivos ao variarmos $y$. Em particular, veja que

$4030x \ge f(x)    (3)$

(Pense um pouco no que aconteceria se isso fosse falso. Tudo o que você precisa são as 3 linhas acima desta)

Acabamos de ver algo mais interessante aqui: essa desigualdade parece muito com (2). O único problema é que a igualdade pode acontecer.

Então nós usamos a última equação que conseguimos para tentar descobrir coisas novas. (3) na equação principal nos dá:

$4030x+4030y+4030f(y) \ge 4030x -f(x) +f(2016y)$

$f(x) + 4030y+4030f(y) \ge f(2016y)$

Mas isso vale para todo $x$! Logo, pela sobrejetividade,

$4030y+4030f(y) \ge f(2016y)    (4)$

Agora jogamos (4) na equação principal para:

$f(x+y+f(y)) \le 4030x + 4030y +4030f(y) - f(x)< 4030x+4030y+4030f(y))$

Mas note que ao variarmos $x,y$ pelos reais positivos, $x+y+f(y)$ passa por todos os reais positivos (Por quê?). Logo

$f(z)<4030z    (5)$

para todo $z$ real positivo.

E agora? Bem, sempre tenha em mente como usar o que você já tinha com as coisas que você descobre. Essa última equação nos garante que (2) não pode acontecer.

Mas se (2) não pode acontecer, então $2015y-f(y)$ não pode ser um real positivo, logo $f(y) \ge 2015y$. Agora já está bem claro o que vai acontecer. Se testarmos a função $f(t)=2015t$ para todo $t$ real positivo,

$2015(x+y+2015y)=4030x-2015x+2015 . 2016y$

ela funciona! Então vale a pena tentarmos provar que ela é a única. Mas como fazer isso com essa desigualdade? A ideia é a seguinte: uma sequência de desigualdades que geram uma igualdade contém apenas igualdades. Muito técnico? Agora vai ficar mais claro.

Olhe em (1). Temos o seguinte:

$4030 . 2016y =f(2017y+f(y)) \ge 2015 (2017y+f(y)) \ge 2015 (2017y+2015y) = 4030 . 2016y$

Note que temos uma igualdade aí entre o primeiro e último termo. Se alguma dessas desigualdades no caminho fosse estrita (i.e. maior ao invés de maior igual), teríamos $4030 . 2016y>4030 . 2016y$, o que claramente é falso. Logo,

$4030 . 2016y =f(2017y+f(y)) = 2015 (2017y+f(y)) = 2015 (2017y+2015y) = 4030 . 2016y$

Donde vemos que $f(y)=2015y$.

 

 

Obviamente isso não é nem perto de tudo o que tem a ser dito sobre problemas de matemática, mas espero que essas ideias já sirvam de começo. Acho que o conselho mais útil de todos seria:

Não tenha preguiça de trabalhar em um problema

Já vi muita gente ficando travada em problemas porque não resolvia os casos, não resolvia o sistema de equações, ou não fazia as contas no problema de geometria. Claro, não é para desperdiçar tempo com ideias que claramente não vão a lugar nenhum. Mas se você só tiver aquela ideia e aparentar ainda que ela tem aquele pouco de chance de dar certo, não deixe de explorá-la o máximo possível.