MATERIAL OBMEP - ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Escrito por João Ferreira e Matheus Bezerra.

INTRODUÇÃO.

Neste artigo iremos desenvolver o raciocínio necessário para se trabalhar com áreas e superfícies em problemas de diversos tipos. Inicialmente, é necessário que conheçamos o cálculo da área de figuras planas fundamentais, como o triângulo, o trapézio, o paralelogramo, etc. Para isso, vejamos como realizar tais cálculos:

Área de um triângulo: A área $S$ de um triângulo pode ser calculada utilizando a fórmula $S=\dfrac{b\cdot h}{2}$, onde $b$ é o comprimento da base do triângulo e $h$ é o comprimento da altura relativa ao vértice oposto à base. Lembre-se: a altura relativa a um vértice de um triângulo é o segmento que passa por esse vértice e é perpendicular à base. Perceba ainda que a altura não precisa necessariamente estar dentro do triângulo.

Área de um paralelogramo: A área $S$ de um paralelogramo pode ser calculada utilizando a fórmula $S=b\cdot h$, onde $b$ é o comprimento da base do paralelogramo e $h$ é o comprimento da altura relativa à base. Lembre-se: a altura relativa a base de um paralelogramo é a distância entre a base e o lado paralelo à ela. Observe que, sendo o quadrado e o retângulos tipos especiais de paralelogramos, a mesma fórmula aplica-se a eles.

Área de um trapézio: A área $S$ de um trapézio pode ser calculada utilizando a fórmula $S=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$, onde $B$ é o comprimento da base maior, $b$ é o comprimento da base menor e $h$ é a distância entre as duas bases. Observação: Nesse caso devem ser consideradas como bases os lados paralelos do trapézio.

Área de um círculo: A área $S$ de um círculo é dada por $S= \pi\cdot r^2$, onde $\pi$ é uma constante matemática e $r$ o raio da circunferência.

Agora, vejamos um fato útil que segue da fórmula para áreas de triângulos:

Razão entre áreas de triângulos com mesma altura: Dados dois triângulos com bases $a$ e $a'$ sobre uma mesma reta e de áreas $S$ e $S'$, respectivamente, temos que $\dfrac{S}{S'}= \dfrac{a}{a'}$

PROBLEMAS.

Segue agora uma lista com problemas de diversos níveis sobre o assunto abordado para você praticar. Busque tentar todos eles antes de ir para as dicas e soluções no final do material e divirta-se!

1 (OBMEP/2006-F2-N3-P3). Na figura, os triângulos $ABC$ e $BDE$ são congruentes e os ângulos $\angle BAC$ e $\angle DBE$ são retos. Ache a razão entre a área do triângulo $BDF$ e a área do quadrilátero $AEFC$.

2 (OBMEP/2017-F2-N2-P2). Pedrinho juntou quatro quadrados, sem sobreposição, e obteve o retângulo de contorno destacado em vermelho na figura. A área do quadrado sombreado é $4~cm^2$.

Pedrinho juntou mais um quadrado à figura, também sem sobreposição, e obteve um novo retângulo de maior área possível. Qual é a área desse novo retângulo?

3 (OBMEP/2014-F1-N2-P9). O polígono $ABCDEF$ é um hexágono regular. Os pontos $M$ e $N$ são pontos médios dos lados $AF$ e $BC$, respectivamente. O hexágono $ABNGHM$ é simétrico em relação à reta que passa por $M$ e $N$. Qual é a razão entre as áreas dos hexágonos $ABNGHM$ e $ABCDEF$?

4 (OBMEP/2015-F2-N2-P1). Divida a folha da imagem em quadrados iguais, desenhando traços paralelos às margens, de modo que esses quadrados tenham a maior área possível.5 (OBMEP/2013-F2-N2-P3). Dafne tem muitas peças de plástico: quadrados amarelos de lado $3~cm$ e quadrados azuis de lado $4~cm$, como mostrado na figura. Com
estas peças e sem sobreposição, ela forma figuras.

Usando somente peças quadradas, Dafne formou a figura abaixo, com um buraco em seu interior. Qual é a área do buraco?

6 (OBMEP/2019-F1-N2-P12). No paralelogramo $ABCD$ da figura, os pontos $M$ e $N$ são pontos dos lados $BC$ e $CD$, respectivamente. As áreas $a$, $b$, $c$ e $d$ são conhecidas. Qual é o valor da área $x$ em função de $a$, $b$, $c$ e $d$?

7 (OBMEP/2014-F1-N3-P7). Um retângulo $ABCD$ de papel branco, com área de $20~cm^2$, é dobrado como mostra a figura, formando o pentágono $EFBCD$' com área de $14~cm^2$. Se pintarmos de azul os dois lados do papel dobrado e desfizermos a dobra, o retângulo ficará com uma região não pintada. Qual é a área dessa região?

8 (OBMEP/2016-F1-N2-P14). Na figura, os pontos $C$ e $F$ pertencem aos lados $BD$ e $AE$ do quadrilátero $ABDE$, respectivamente. Os ângulos $\angle ABC$ e $\angle DEF$ são retos e os segmentos $AB$, $CD$, $DE$ e $FA$ têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero $ACDF$?

9 (OBMEP/2016-F1-N3-P10). O quadrado da figura está inscrito no semicírculo e o círculo está inscrito no quadrado. O círculo tem área igual a $10~cm^2$. Qual é a área do semicírculo?

10 (OBMEP/2014-F1-N3-P5). Na figura abaixo, $ABCD$ e $EFGC$ são quadrados de áreas $R$ e $S$, respectivamente. Qual é a área da região cinza?

11 (Apostila Portal da Matemática-P11). Seja um triângulo $ADE$ de área $18~cm^2$, onde o lado $AD$ e dividido em três partes iguais pelos pontos $B$ e $C$. Marcando-se o ponto médio $F$ do segmento $BE$, determine a área do triângulo $AFE$.

12 (OBMEP/2018-F1-N3-P9). A figura mostra três regiões, $a$, $b$ e $c$, determinadas por um quadrado de centro $O$, e suas circunferências inscrita e circunscrita. Escereva $c$ em função de $a$ e $b$.

13 (OBMEP/2017-F1-N3-P8). Na figura, o arco $AC$ é um quarto de uma circunferência de centro $D$ e o arco $AB$ é um oitavo de uma circunferência de centro $C$. O segmento $AD$ mede $2~cm$. Qual é a área em $cm^2$ da região verde?

14 (OBMEP/2014-F2-N2-P3). Os prolongamentos dos lados de um hexágono regular $ABCDEF$, de $1~cm^2$ de área, determinam seis pontos de interseção, que são vértices de um novo hexágono regular $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, conforme mostra a figura. Repetindo esse processo de prolongamento de lados em cada novo hexágono obtido, determinamos novos hexágonos, $A_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2$, $A_3 B_3 C_3 D_3 E_3 F_3$, e assim por diante.

(a) Qual é a área do hexágono $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$?

(b) Qual é a área do hexágono $A_5 B_5 C_5 D_5 E_5 F_5$?

15 (OBMEP/2009-F1-N2-P18). Na figura, $ABCD$ é um paralelogramo e o segmento $EF$ é paralelo a $AB$. Qual é a soma das áreas dos triângulos sombreados?

16. (OBMEP/2019-F1-N3-P12) Sabendo que as áreas dos triângulos $BCQ$ e $QCP$ da figura são, respectivamente, $6$ e $2$, qual é a área do retângulo $ABCD$?

17 (OBMEP/2018-F1-N3-P12). A figura mostra um quadrilátero convexo $ABCD$ de área $1$ e pontos $P$, $Q$, $R$ e $S$ tais que

$AP=\dfrac{AB}{3}$, $BQ=\dfrac{BC}{3}$, $CR=\dfrac{CD}{3}$ e $DS=\dfrac{DA}{3}$

Qual é a área do quadrilátero $PQRS$?

18 (OBMEP/2018-F2-N2-P3). Janaína tem três folhas de papel quadradas: uma verde de área $64~cm^2$, uma amarela de área $36~cm^2$ e uma azul de área $18~cm^2$.

Janaína decidiu colocar as folhas como na figura abaixo. Qual é a área da região amarela?

19 (OBMEP/2018-F1-N2-P17). Na figura abaixo, $ABCD$ é um paralelogramo. $O$ ponto $E$ é ponto médio de $AB$, e $F$ é ponto médio de $CD$. Qual é a razão entre a área do triângulo $GIH$ e a área do paralelogramo $ABCD$?

20 (OBMEP/2014-F1-N3-P16). O paralelogramo $ABCD$ tem área $24~cm^2$ e os pontos $E$ e $F$ são os pontos médios dos lados $AB$ e $BC$, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero $EFGH$?

Desafio-Teorema de Viviani (Apostila Portal da Matemática-P18). Se $ABC$ é um triângulo equilátero e $P$ um ponto qualquer em seu interior, mostre que a soma das distâncias de $P$ aos lados do triângulo é constante.

Dica: A área de um triângulo equilátero de lado $l$ é dada por $\dfrac{l^2\cdot \sqrt3}{4}.$

DICAS.

1. Como os triângulos $ABC$ e $BDE$ são congruentes, suas áreas são iguais.

2. Qual é a medida do maior lado do retângulo destacado em vermelho?

3. Tente dividir a figura em partes menores.

4. Tente associar a medida dos lados dos quadrados aos lados do retângulo e o mesmo para suas áreas.

5. Quanto vale a soma das áreas das peças e do buraco?

6. Quais triângulos têm a mesma área?

7. Tente visualizar áreas iguais na figura ao ser desdobrada.

8. Divida $ACDF$ em dois triângulos.

9. Calcule a medida do lado do quadrado utilizando Teorema de Pitágoras.

10. Divida $ABFG$ em dois triângulos.

11. $ABF$ e $AFE$ tem a mesma altura.

12. Calcule o lado do quadrado e o raio do círculo circunscrito em função do raio do círculo inscrito e, após isso, calcule suas respectivas áreas.

13. Calcule a área da figura $ABCD$ e em seguida a área do setor circular $DCA$ de centro $D$.

14. $D_1 DE$ e $D_1 E_1 E$ têm a mesma área.

15. Quanto vale a soma das áreas de $ABFE$ e $EFCD$?

16. Trace o segmento $AP$ e utilize razões entre áreas para encontrar a razão entre os segmentos $DP$ e $PC$.

17. Calcule a razão entre as áreas dos triângulos não sombreados e a área de $ABCD$.

18. Trace as diagonais da folha azul e divida a figura em diferentes partes.

19. Encontre na figura triângulos congruentes que possuirão a mesma área.

20. Primeiro, calcule a área do triângulo $DEF$ com o auxílio das demais áreas que formam o paralelogramo. Após isso, tente descobrir uma realção entre as áreas dos triângulos $ADH$, $HDG$ e $GDC$.

Desafio. Divida o triângulo $ABC$ em três triângulos menores que possuem $P$ como um dos vértices e calcule a área de $ABC$ de duas formas diferentes.

SOLUÇÕES.

1. Denotaremos por $[X]$ a área do polígono $X$. $[BFD]=[DEB]-[BEF]$. $[AEFC] = [ABC] - [BEF] = [DEB] - [BEF]$, pois $DEB$ é congruente a $ABC$. Como ambas as áreas são iguais, a razão entre elas é $1$.

2. Como a área do quadrado $B$ é de $4~cm^2$, seu lado mede $\sqrt{4}=2~cm$, que é a mesma medida do lado do quadrado $C$. O lado do quadrado $A$ é a soma dos lados dos quadrados $B$ e $C$ e portanto mede $2+2=4~cm$. O lado do quadrado $D$ é a soma dos lados dos quadrados $A$ e $C$, então mede $4+2=6~cm$. Se adicionarmos um quadrado ao lado do quadrado $D$, esse quadrado terá lado igual ao quadrado de lado $D$, então terá área $=6^2=36~cm^2$. Se adicionarmos um quadrado ao lado dos quadrados $A$ e $D$, ele terá lado igual à soma dos lados dos quadrados $A$ e $D$ que é igual a $4+6=10$ e sua área será de $10^2=100$. Como o retângulo de Pedrinho ficou com a maior área possível, ele adicionou um quadrado ao lado dos quadrados $A$ e $D$ e a área total desse retângulo é $(2+4+10)\cdot 10=160~cm^2$.

3. As diagonais que ligam vértices opostos dividem o hexágono regular em seis triângulos equiláteros congruentes (FIGURA 1), com lado igual ao do hexágono. Por outro lado, os segmentos $MH$ e $GN$ determinam triângulos equiláteros $FHM$ e $CGN$ com lado igual à metade do lado do hexágono. Logo, a área de cada um destes dois triângulos é igual a $\dfrac{S}{4}$ , sendo $S$ a área dos triângulos equiláteros maiores. Assim, a razão entre as áreas dos hexágonos $ABNGHM$ e $ABCDEF$ é

$\dfrac{3S-\dfrac{2S}{4}}{6S}=\dfrac{5}{12}$

Uma outra solução consiste em decompor o hexágono regular em $24$ pequenos triângulos equiláteros congruentes (FIGURA 2) e verificar que o hexágono cinza é formado por $10$ de tais triângulos pequenos. Assim, a razão entre as áreas é $\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}$.

4. Com um traço horizontal e dois verticais geramos os quadrados de maior área possível. Para formar apenas quadrados, o valor do lados desses quadrados deve dividir $20$ e $30$. A maior área ocorre, então, quando o lado desses quadrados for o máximo divisor comum de $20$ e $30$, ou seja, $10~cm$.

5. A figura construída forma um quadrado de lado $4+3+4=11~cm$, cuja área é $11\cdot 11=121~cm^2$. Ele é composto de $4$ amarelas e $4$ peças azuis; a área total dessas peças é $4\cdot 9+4\cdot 16=100~cm^2$. A área do buraco é a área do quadrado menos a soma das áreas dessas peças, ou seja, é igual a $121-100=21~cm^2$.

6. O triângulo $ABN$ tem base $AB$ igual à do paralelogramo e altura relativa a essa base igual à altura do paralelogramo relativa a essa mesma base. Portanto, a área de $ABN$ (que é igual a $a+b+x$) é igual à metade da área do paralelogramo. Do mesmo modo, a área de $ADM$ (igual a $a+b+c$) é também igual à metade da área do paralelogramo. Logo, $a+b+x = d+b+c$ e, daí, $x=c+d-a$.

7. Quando pintarmos o papel em forma de pentágono dos dois lados, a área total pintada será de $28~cm^2$. Esta área pintada inclui a área de um dos lados do retângulo original, que ficará totalmente azul, e a área pintada do outro lado. Se da área total de $40~cm^2$, correspondente aos dois lados do retângulo, retirarmos a área pintada de $28~cm^2$,teremos $12~cm^2$ de área não pintada.

8. A área do quadrilátero $ACDF$ é a soma das áreas dos triângulos $ACD$ e $ADF$. O triângulo $ACD$ tem base $CD = 2$ e altura $AB = 10$ relativa à base $CD$, enquanto o triângulo $ADF$ tem base $FA = 6$ e altura $DE = 7$ relativa à base $FA$. Logo, a área do triângulo $ACD$ é $(2\times10)\div2=10$ e a área do triângulo $ADF$ é $(6\times 7)\div 2 = 21$. Somando essas áreas, obtemos que o quadrilátero $ACDF$ tem área $31$.

9. Vamos chamar de $r$ e $R$ o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio do semicírculo, respectivamente. Como a circunferência está inscrita no quadrado, temos que o lado do quadrado mede $2r$. Observando o triângulo retângulo destacado na figura e usando o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

$R^2=4r^2+r^2=5r^2$

Assim, a área do semicírculo é $\dfrac{1}{2}\pi R^2=\dfrac{5}{2}\pi r^2=\dfrac{5}{2}\cdot 10=25~cm^2$

10. O lado do quadrado maior é $\sqrt R$ e o lado do menor $\sqrt S$ . Traçamos o segmento $BG$ e vemos que ele divide a região cinza em dois triângulos $ABG$ e $BFG$, cujas áreas, somadas, dão a área da região cinza. A área do triângulo $ABG$ é $\dfrac{\sqrt R\cdot \sqrt R}{2}= \dfrac{R}{2}$ e a área do triângulo $BFG$ é $\dfrac{\sqrt S\cdot \sqrt S}{2}=\dfrac{S}{2}$ . Logo, a área da região cinza é $\dfrac{R+S}{2}$.

11. Aqui, usaremos $[XYZ]$ para denotar a medida da área de um triângulo $XYZ$ qualquer e utilizaremos a ideia de razão entre áreas exposta no início desse artigo.

Se $AB=\dfrac{AD}{3}$, então $[ABE]=\dfrac{[ADE]}{3}=\dfrac{18}{3}=6~cm^2$. Temos também que $F$ é ponto médio de $BE$, ou seja, $[AFE]=\dfrac{[ABE]}{2}=\dfrac{6}{2}=3~cm^2$.

12.  A figura abaixo lado é um recorte da figura do enunciado, apresentando, em destaque, os setores dos dois círculos, correspondendo a um quarto do círculo maior, e as regiões $a$, $b$ e $c$. Observe que dividimos a região a em duas partes de mesma área, indicadas por $a/2$. Vamos denotar o raio do círculo menor por $r$. Segue do Teorema de Pitágoras que o raio do círculo maior é igual a $r\sqrt2$, conforme vemos na figura. Como os dois setores (um quarto do círculo maior e o menor em cinza da figura) são semelhantes com razão $\dfrac{r\sqrt2}{r}$, segue que razão entre as áreas dos setores é $\dfrac{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+c}{c}=\left(\dfrac{r\sqrt2}{r} \right)^2=2$.Portanto, $a + b + c = 2c,$ ou seja, $c = a+b$.

13. O cálculo da área solicitada pode ser feito em duas etapas. Na primeira, consideramos a figura $ABCD$ formada pela metade do quadrado cujo lado tem comprimento $2$ (ou seja, o triângulo $ACD$) e um oitavo do círculo com centro $C$ e raio $CA$. A medida de $CA$ é $2\sqrt 2$ , pois coincide com a diagonal do quadrado de lado $2$. A área dessa figura é: $\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{8}\cdot 8\pi=2+\pi$.
Na segunda etapa, para calcular a área da região verde, observamos que ela pode ser obtida a partir da figura completa $ABCD$ retirando um quarto do círculo com centro em $D$ e raio $DA$, o qual mede $2$. A área desse um quarto de círculo é $\dfrac{1}{4}\cdot 4\pi=\pi$.
Fazendo a diferença $(2+\pi)-\pi=2$, temos a área da região verde.

14.
(a) O triângulo $E_1ED_1$ é isósceles e tem a mesma área que o triângulo $EDD_1$, pois $\overline {E_1E} = \overline {ED}$ e a altura relativa a essas bases é a mesma para cada triângulo. Assim, a área do triângulo $E_1DD_1$ é $1/6$ da área do hexágono. O hexágono $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ é a reunião do hexágono inicial, cuja área é $1~cm^2$, com seis triângulos equiláteros cuja soma das áreas é $1~cm^2$, com seis triângulos isósceles cuja soma das áreas também é $1~cm^2$, logo, sua área é $3~cm^2$. Este resultado segue também observando-se que $E_1D_1DF$ é um retângulo e, portanto, $E_1D_1D$ tem mesma área que $ED_1D$.

(b) A cada etapa, a área do hexágono anterior será triplicada: a área do hexágono $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$ será o triplo da área do hexágono $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ou seja, $3^2~cm^2$, a do hexágono seguinte, $3^3~cm^2$, e a do hexágono $A_5B_5C_5D_5E_5F_5$, $3^5=243~cm^2$.

15. Para achar a soma das áreas dos triângulos, basta calcular a área do paralelogramo $ABCD$ e subtrair as áreas dos trapézios $ABFE$ e $CDFE$. Seja $h$ a altura do trapézio $ABFE$; sua área é então $\dfrac{AB+EF}{2}h=3h~cm^2$. Como a altura do paralelogramo $ABCD$ é $4~cm$, a altura do trapézio $CDFE$ é $4-h$ e sua área é $\dfrac{CD+EF}{2}(4-h)=12-3h~cm^2$. A área do paralelogramo $ABCD$ é $16~cm^2$; a soma das áreas dos triângulos é então $16-(3h+12-3h)=4~cm^2$.

16. Aqui, utilizaremos a notação $[X]$ para denotar a área do polígono $X$.

Traçando o segmento $AP$, vemos perceba que, como os triângulos $APQ$ e $QCP$ possuem mesma altura, pela ideia de razões de áreas que expusemos na introdução do artigo, temos que $\dfrac{[APQ]}{[QCP]}=\dfrac{[APQ]}{2}=\dfrac{AQ}{QC}$.

Agora, como também os triângulos $ABQ$ e $BCQ$ possuem mesma altura, obtemos $\dfrac{[ABQ]}{[BCQ]}=\dfrac{[ABQ]}{6}=\dfrac{AQ}{QC}$.

Logo, $\dfrac{[APQ]}{2}=\dfrac{[ABQ]}{6}\implies[APQ]=\dfrac{[ABQ]}{3}$. Além disso, como $AC$ é uma diagonal:

$[ACD]=[ABC]\implies[APD]=[ACD]-[APQ]-[QCP]=[ABC]-\dfrac{[ABQ]}{3}-2=[ABQ]+6-\dfrac{[ABQ]}{3}-2\implies$

$\implies [APD]=\dfrac{2[ABQ]}{3}+4\implies [APD]=2\left(\dfrac{[ABQ]}{3}+2 \right)$.

Com isso, como $[ACP]=[APQ]+2=\dfrac{[ABQ]}{3}+2\implies[APD]=2[ACP]$ e, como esses dois triângulos possuem mesma altura, concluímos que $\dfrac{DP}{PC}=\dfrac{[APD]}{[ACP]}=2$. Assim, como se pode ver na figura abaixo, a área $[ADPE]$ é o dobro da área $[PCBE]$, que por sua vez é o dobro da área $[PCB]=[QCP]+[BCQ]=2+6=8$, então

$[PCBE]=2[PCB]=2\cdot8=16$ e $[ADPE]=2[PCBE]=2\cdot16=32$, e finalizamos com $[ABCD]=[ADPE]+[PCBE]=32+16=48$.

17. Denotaremos $[X]$ como a área do polígono $X$. Seja $S'$ o ponto médio do segmento $AS$. Como $\dfrac{AS'}{S'D}=\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{1}{3}$, pelo Teorema de Tales $S'P\parallel DB\implies APS'$ é semelhante a $ABD$ com razão $\dfrac{1}{3}$ e portanto a razão entre as áreas é $\left(\dfrac{1}{3} \right)^2=\dfrac{1}{9}$. Como $S'$ é ponto médio de $AS$ e os triângulos $AS'P$ e $S'SP$ têm a mesma altura, $[AS'P]=[S'SP]$ e $[ASP] =\dfrac{1}{9}[ABD]+\dfrac{1}{9}[ABD]=\dfrac{2}{9}[ABD]$. Analogamente $[CRQ]=\dfrac{2}{9}[CDB]$. Somando essas duas igualdades obtemos $[ASP]+[CRQ]=\dfrac{2}{9}([ABD]+[CBD])=\dfrac{2}{9}[ABCD]=\dfrac{2}{9}$, pois a área de $ABCD$ é $1~cm^2$. Analogamente $[SDR]+[QBP]=\dfrac{2}{9}$. Portanto $[PQRS]=[ABCD]-([ASP]+[CRQ]+[SDR]+[QBP])=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$.

18. Como a folha verde tem área igual a $54~cm^2$, seus lados medem $8~cm$, pois $8\times 8=64$. A folha amarela tem $36~cm^2$, logo seus lados medem $6~cm$, já que $6\times 6=36$. Assim, na figura, vemos que a distância entre os lados inferiores (e também entre as laterais do lado direito) dessas duas folhas é $8-6=2~cm$. Como a distância do vértice da folha azul ao vértice inferior esquerdo da folha verde é de $3~cm$, a distância entre a diagonal vertical da folha azul e o lado direito da folha amarela é $3-2=1~cm$, conforme figura abaixo.
O mesmo ocorre com a diagonal horizontal da folha azul e o lado inferior da folha amarela. Assim, a parte da folha azul que cobre a folha amarela, é um pentágono que pode ser decomposto em quatro pedaços: um quadrado $1\times 1$, dois trapézios iguais e um triângulo retângulo. A área do triângulo retângulo com dois lados de $3~cm$ é igual a $4,5~cm^2$. Os dois trapézios azuis têm áreas iguais à área do triângulo retângulo menos a área de um triângulo retângulo com lados menores de $2~cm$, ou seja, $\dfrac{3\times 3}{2}- \dfrac{2\times 2}{2}=\dfrac{9}{4}- \dfrac{4}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5~cm^2$. A área do quadrado é $1\times 1=1~cm^2$. Portanto, a área da parte da folha azul que cobre a folha amarela é igual a $4,5+2\times 2,5+1=10,5~cm^2$. Consequentemente, a área da região amarela é igual a $36-10,5=25,5 cm^2$.

19. De acordo com o enunciado, segue que $BCFE$ e $EFDA$ são dois paralelogramos congruentes, pois $E$ e $F$ são pontos médios dos lados $AB$ e $CD$, respectivamente. Observemos que os triângulos $EBF$ e $DFH$ são congruentes, pois têm mesmos ângulos e $EB = DF$. Analogamente, os triângulos $GEA$ e $ECF$ também são congruentes. Agora, traçando-se a reta por $E$ e $F$, como na figura, obtemos também que $AGJE$ e $HDFK$ são paralelogramos congruentes aos dois iniciais ($BCFE$ e $EFDA$). Mais ainda, as diagonais determinam, em seus respectivos paralelogramos, quatro triângulos de mesma área, com dois pares de triângulos congruentes (em cada paralelogramo, os triângulos opostos pelo vértice são congruentes). Observe que o paralelogramo $ABCD$ contém $8$ desses triângulos e o triângulo $GIH$ contém $9$. Logo, a razão entre eles é igual a $9/8$.

20. Denotaremos por $[F]$ a área de uma figura $F$ e por $\sim$ a relação de semelhança de triângulos. Sejam $b$ a medida da base do paralelogramo e $h$ sua altura. Então:
$[ABC]=24~cm^2 \Rightarrow b\cdot h=24~cm^2$.
$\triangle GCF \sim \triangle GDA \Rightarrow \dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{b/2}{b} \Rightarrow \dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow h_2=2h_1 \Rightarrow 3h_1=h \Rightarrow h_1=\dfrac{h}{3}$.
Portanto, $[GFC]=\dfrac{\dfrac{b}{2}\cdot \dfrac{h}{3}}{2}=\dfrac{b\cdot h}{12}=\dfrac{24}{12}=2~cm^2$.
Da mesma forma, também podemos concluir que $[AHE]=2~cm^2$.
Vamos calcular agora $[BEF]$, lembrando que triângulos semelhantes possuem áreas relacionadas com o quadrado da constante de proporcionalidade:
$\triangle EBF \sim \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{[EBF]}{[ABC]}=\left(\dfrac{b/2}{b} \right)^2=\left(\dfrac{1}{2} \right)^2=\dfrac{1}{4} \Rightarrow [EBF]=\dfrac{[ABC]}{4}=\dfrac{12}{4}=3~cm^2$.
Agora vamos calcular a área do quadrilátero $EFGH$ por diferença:
$[EFGH]=[ABC]-[GFC]-[AEH]-[EBF]=12-2-2-3=5~cm^2$.

Desafio. Antes de resolvermos o problema, é importante lembrarmos que a altura de um triângulo equilátero de lado $l$ mede $\dfrac{l\sqrt 3}{2}$ (verifique isso utilizando Teorema de Pitágoras), e consequentemente que sua área mede $\dfrac{l\cdot \dfrac{l\sqrt 3}{2}}{2}=\dfrac{l^2\sqrt 3}{4}$.

Vamos marcar os pontos $E$, $F$ e $G$, interseção das perpendiculares por $P$ aos lados $AC$, $AB$ e $BC$, respectivamente. Agora, vamos calcular a área do triângulo $ABC$ de duas maneiras diferentes:

$[ABC] = [APB] + [APC] + [BPC] \Rightarrow$ $\dfrac{l^2\sqrt 3}{4}=\dfrac{AB\cdot PF}{2}+\dfrac{AC\cdot PE}{2}+\dfrac{BC\cdot PG}{2} \Rightarrow$ $\dfrac{l^2\sqrt 3}{4}=\dfrac{l\cdot PF}{2}+\dfrac{l\cdot PE}{2}+\dfrac{l\cdot PG}{2} \Rightarrow$ $\dfrac{l^2\sqrt 3}{4}=\dfrac{l\cdot (PF+PE+PG)}{2} \Rightarrow$
$\dfrac{l\sqrt 3}{2}=PF+PE+PG$

Portanto, a soma das distâncias de um ponto $P$ interno a um triângulo de lado medindo $l$, é constante e igual a sua altura.

REFERÊNCIAS.

Site da Obmep: http://www.obmep.org.br/index.htm

Apostila do Portal da Matemática: https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material/8anbnrsumxog4.pdf