Material Obmep- Operações

Escrito por João Linhares e João Rafael.

INTRODUÇÃO

Muitas vezes nos deparamos com problemas que nos pedem para repetirmos operações ou seguirmos algoritmos. Este artigo é exatamente sobre isso. Esse tipo de problema é muito recorrente na OBMEP e em outras olimpíadas aparecendo basicamente todo ano. Esses problemas podem ser identificados quando te pedem para repetir uma serie de operações de forma sistemática. Alguns bons métodos para resolvermos esses problemas são achar invariantes, resolver o problema de "trás pra frente", transformar o enunciado em linguagem matemática e simplesmente algebrismo. Enfim, esperamos que se divirtam com a lista e bons estudos!

PROBLEMAS.

1(OBMEP-2012-N1) A calculadora de Raquel é um pouco diferente. Além das $10$
teclas numéricas de $0$ a $9$, ela só tem três teclas de operações:

• a tecla Q, que multiplica o número do visor por ele mesmo;
• a tecla D, que multiplica o número do visor por $2$;
• a tecla C, que divide o número do visor por $5$.

a)Raquel começou com $15$ e obteve $18$ apertando três teclas de operações. Qual foi a sequência de teclas que ela usou?

b)Usando a sequência de teclas $DCQC$, Raquel obteve o número $7,2$. Com qual número ela começou?

c)Apresente uma maneira de Raquel obter o número $0,08$ em sua calculadora, indicando o número inicial e a sequência de teclas de operações.

2(OBMEP-2013-N1) Ariadne brinca com números de dois ou mais algarismos. Ela soma, aos pares,
os algarismos do número, da esquerda para a direita, e escreve os resultados
em ordem; em seguida, ela repete a brincadeira com o novo número e assim por
diante. Se ela chegar a um número com um único algarismo, a brincadeira acaba.
Por exemplo, de $294$ ela obtém $1113$, pois $2+9=11, 9+4=13$ . Depois, de
$1113$ ela obtém $224$, pois $1+1=2, 1+1=2$ e $1+3=4$, e assim por diante

a) Escreva a sequência que começa com $4125$.

b)Escreva os seis primeiros números da sequência que começa com $995$.

c)Qual é o $103$º número da sequência que começa com $33333$

3(BANCO OBMEP-2015-N3)A calculadora de João possui uma tecla especial que transforma qualquer número $x\neq1$ em $\frac{1}{1-x}$.

a)Que número aparecerá se o número $2$ estiver escrito na tela e a tecla especial for pressionada $3$ vezes?

b)E se for pressionada $10$ vezes?

c)E se for pressionada $2015$ vezes?

4(OBMEP-2018-N3) Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre números inteiros, como abaixo:

• $a\#b=a^2+b^2$
• $a@b=(a+b)^2$

Por exemplo, $1\# 4=17$ e $1@(-6)=25$. Utilizando as operações criadas por Sérgio, responda às perguntas abaixo:

a)Qual é o valor de $(2@3)-(2\#3)$?

b)Se $(x-5)\#(y-6)=0$, qual é o valor de $x@y$ ?

c)Quantos são os pares ordenados $(a,b)$ de números inteiros, tais que $(a@b)-(a \#b)= 36$?

5(OBMEP-2017-N2) Júlia faz o seguinte cálculo com números inteiros positivos: ela escolhe um número, eleva esse número ao cubo e subtrai desse cubo o próprio número.

a)Qual é o resultado do cálculo de Júlia com o número $3$?

b)Qual é o número que deve ser escolhido por Júlia para que o resultado do cálculo seja $1320$?

c)Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado final do cálculo será sempre um múltiplo de $6$.

6(BANCO OBMEP-2020-N1) Janete brinca com os números criando sequências a partir de um número de $4$ algarismos seguindo os seguintes passos:

• Primeiro ela divide o número em duas partes, sendo a primeira formada pelos dois
  primeiros algarismos e a segunda pelos dois últimos.
• Se o número de uma das partes é par, ela divide-o por 2, mas se for ímpar ela soma
  1.
• Em seguida, ela junta os dois resultados (na ordem original).
• Se continuar com 4 algarismos, repete o processo; se o novo número tiver 3 algarismos ela o separa em duas partes, sendo a primeira com apenas o primeiro algarismo e a segunda com os dois últimos e repete o processo; se tiver 2 algarismos, ela repete
  o processo, sem dividir o número.
• Esse processo é repetido até chegar em um número com apenas 1 algarismo, quando
  encerra a sequência.

Por exemplo, vamos construir a sequência que começa com 1.617:

$1617\rightarrow16|17\rightarrow818\rightarrow8|18\rightarrow49\rightarrow50\rightarrow25\rightarrow26\rightarrow13\rightarrow14\rightarrow7$

a)Qual a sequência que começa com $2020$?

b)Qual o $5$º termo da sequência que começa $8998$?

c)Vamos chamar de subsequência os últimos $5$ termos de uma sequência. Quantas subsequências existem que terminam com $7$ e que todos os demais termos tem $2$ algarismos?

7(OBMEP-2011-N1) Cláudia gosta de brincar com números de dois ou mais algarismos. Ela escolhe um desses números, multiplica seus algarismos e, caso o produto tenha mais de um algarismo,
ela os soma. Ela chama o resultado final de transformado do número escolhido. Por
exemplo, o transformado de $187$ é $11$, pois $1\times8\times7=56$ e $5+6=11$ ; já o transformado de
$23$ é $6$, pois $2\times3=6$.

a)Qual é o transformado de $79$?

b)Quais são os números de dois algarismos cujo transformado é $3$?

c)Quantos são os números de três algarismos cujo transformado é $0$?

8(BANCO OBMEP-2020-N1) A calculadora de Joseane ficou maluca: para cada algarismo que ela aperta, aparece seu dobro no visor. As teclas de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão funcionam normalmente e não podem ser apertadas duas vezes seguidas. Por exemplo, uma sequência de operações permitida é escrever $2\rightarrow\times\rightarrow3$, que gera o número $4\times6=24$.

a)Como ela pode fazer aparecer 80 apertando 3 teclas?

b) Como ela pode fazer aparecer 50 apertando 3 teclas de algarismos e duas de operações
de forma alternada?

c) Qual a menor quantidade de teclas que ela deve apertar para obter no número 23?

9(OBMEP-2019-N2) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número $n$ diferente de $2$ está no visor e ele aperta a tecla especial, aparece o número $\frac{2\times n}{n-2}$. Por exemplo, se o número $3$ está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece o número $6$, pois $\frac{2\times3}{3-2}=6$.

a)Se o número $6$ está no visor, qual é o número que aparecerá se a tecla especial for apertada?

b)Explique por que, ao apertar duas vezes a tecla especial, Dario sempre obtém o número que estava inicialmente no visor.

c)Para quais valores no visor Dario obtém o mesmo número ao apertar a tecla especial uma única vez?

d)Qual é o número que nunca será obtido ao apertar a tecla especial?

10(BANCO OBMEP-2017-N1) No planeta Zilot, as unidades de medidas são bem diferentes das que conhecemos na Terra. A medida padrão de comprimento é o Zimetro e um de seus submúltiplos é o Zimimimetro que equivale a $10^{-7}$ Zimetros. Uma calculadora pode realizar apenas duas operações: multiplicar um número por $10^8$ ou dividi-lo por $10^5$. Por exemplo, usando as operações da calculadora, podemos fazer as seguintes conversões:

$3\rightarrow3\times10^{-5}\rightarrow3\times10^{-10}\rightarrow3\times10^{-2}$

a)Explique como combinarmos as duas operações da calculadora e fazermos aparecer na
tela o número que representa a conversão de $7\times10^2$ Zimetros em Zimimimetros.

b)Como obter a conversão de $10^{10}\times10^{-4}$ Zimetros em Zimimimetros começando com o número $1000$ na tela da calculadora?

c)É possível obter $10^{11}$ tendo $10^{2017}$ na tela?

11(OBMEP-2011-N1) Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em $1$, seguindo repetidamente as instruções abaixo:

• se o número for ímpar, soma-se $1$;
• se o número for par, divide-se por $2$.

Por exemplo, começando com o número $21$, forma-se a seguinte sequência:

$21\rightarrow22\rightarrow11\rightarrow12\rightarrow6\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow2\rightarrow1$

Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento $9$. Além disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar.

a)Escreva a sequência que começa com $37$.

b)Existem três sequências de comprimento $5$, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências.

c)Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento $6$? E de comprimento $7$?

d)Existem ao todo $377$ sequências de comprimento $15$, sendo $233$ pares e $144$ ímpares. Quantas são as sequências de comprimento $16$? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta.

12(OBMEP-2013-N3) Hipácia criou duas novas operações com números naturais, indicadas por $\triangle$ e $\bigcirc$ , com as seguintes propriedades:

• $a\triangle b=(a+b)+1$
• $a\bigcirc b=b\bigcirc a$
• $0\bigcirc 0=1$
• $a\bigcirc(b\triangle c)=(a\bigcirc b)\triangle(a\bigcirc c)$

Por exemplo, $0\triangle0=(0+0)+1=1$. Observe o exemplo de como Hipácia
calculou $0\bigcirc1$.

$0\bigcirc1=0\bigcirc(0\triangle0)=(0\bigcirc0)\triangle(0\bigcirc0)=1\triangle1=(1+1)+1=3$

a)Calcule $2\triangle3$

b)Calcule $0\bigcirc3$

c)Calcule $2\bigcirc3$

13(OBMEP-2010-N3) Uma calculadora diferente tem penas as teclas numéricas de $0$ a $9$ e duas teclas especiais $A$ e $B$. Quando a tecla $A$ é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla $B$ é apertada. soma-se $3$ ao número que aparece no visor. Nessa calculadora é possível obter $22$ a partir do $1$ apertando as teclas $A$ e $B$ na ordem $BABB$, como ilustrado abaixo:

$1\rightarrow4\rightarrow16\rightarrow19\rightarrow22$

a)Com o $3$ no visor, qual é o número que vai aparecer apertando as teclas $A$ e $B$ na ordem $BBAB$?

b)Mostre como obter $55$ a partir do $1$ usando as teclas $A$ e $B$

c)Explique por que não é possível obter $54$ a partir do $2$ usando as teclas $A$ e $B$.

14(OBMEP-2015-N2) Comece uma sequência escrevendo dois números inteiros não negativos, sendo o primeiro maior do que o segundo. Depois, para encontrar os próximos termos da sequência, repita o seguinte procedimento:

• se o último termo escrito for maior do que o penúltimo, a sequência termina;
• caso contrário, o próximo termo a ser escrito será o penúltimo menos o último.

Um exemplo é a sequência $120, 71, 49, 22, 27$; ela começa com $120$ e $71$ e possui cinco
termos.

a)Escreva a sequência que começa com $30$ e $16$.

b)Escreva a sequência que possui exatamente cinco termos, sendo o quarto termo igual a $1$ e o quinto termo igual a $2$.

c)Uma sequência que começa com $25$ tem exatamente três termos. Quais são os valores possíveis para o segundo termo?

d)Uma sequência que começa com $60$ tem o maior número possível de termos. Qual é o valor do segundo termo dessa sequência?

15(OBMEP-2012-N2) A professora de Matemática organizou a seguinte brincadeira em sala de aula: colocou os alunos em fila e pediu para o primeiro falar três números inteiros e positivos. A seguir, pediu para o segundo aluno somar dois a dois os números falados pelo primeiro aluno e falar os três resultados em voz alta. A brincadeira prosseguiu com cada aluno falando as somas, dois a dois, dos três números falados pelo aluno anterior.

a)Se os números falados pelo primeiro aluno da fila foram $2$, $5$ e $6$, quais foram os números falados pelo terceiro aluno?

b)Em outra vez que fizeram a brincadeira, os números falados pelo terceiro aluno da fila foram $13$, $14$ e $21$. Quais foram os números falados pelo primeiro aluno?

c)Ao fazerem a brincadeira mais uma vez, dois dos números falados pelo quarto aluno foram $48$ e $61$. Qual foi o terceiro número que ele falou?

SOLUÇÕES.

1

a)$15\rightarrow C \rightarrow3\rightarrow Q \rightarrow9\rightarrow D \rightarrow18$

b)$n\rightarrow D \rightarrow a_1\rightarrow C\rightarrow a_2\rightarrow Q\rightarrow a_3\rightarrow C \rightarrow7,2$

Logo:

$7,2=\frac{a_3}{5}$

$a_3=(a_2)^2$

$a_2=\frac{a_1}{5}$

$a_1=2n$

Substituindo

$7,2=\frac{(\frac{2n}{5})^2}{5}$

$n=15$

c)$2\rightarrow C \rightarrow0,4\rightarrow C\rightarrow0,08$

2

a)$4125\rightarrow537\rightarrow810\rightarrow91\rightarrow10\rightarrow1$

b)$995\rightarrow1814\rightarrow995\rightarrow1814\rightarrow995\rightarrow1814$

c)$333333\rightarrow6666\rightarrow121212\rightarrow33333\rightarrow$...$\rightarrow a_{103}$

Como $103$ deixa resto $1$ ao ser divido por $3$ então $a_{103}=33333$.

3

a)Temos a seguinte sequência de resultados:

• $2\rightarrow\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$
• $-1\rightarrow\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$
• $\frac{1}{2}\rightarrow\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Logo o número será o 2.

b)Note o seguinte pelo item acima concluímos que a cada $3$ operações o $2$ aparecerá novamente. Assim como $9$ é múltiplo de $3$, depois da $9$ª operação teremos o $2$ e depois da $10$ª operação, como já vimos, teremos o $-1$

c)De forma análoga ao item b, como $2013$ é múltiplo de $3$ depois da $2013$ª operação teremos $2$, depois da $2014$ª teremos o $-1$ e, enfim, após a $2015$ª operação teremos $\frac{1}{2}$, que é a resposta final.

4

a)$(2@3)-(2\#3)=(2+3)^2-(2^2+3^2)=25-4-9=12$

b)

$(x-5)\#(y-6)=0\iff(x-5)^2+(y-6)^2=0$

Mas como $a^2\geq0\forall a \in {\rm I\!R}$

$(x-5)=0\iff x=5$
$(y-6)=0\iff y=6$

$(x@y)=(5@6)=(5+6)^2=11^2=121$

c)$(a@b)-(a\#b)=36\iff(a+b)^2-(a^2+b^2)=36$

$\iff a^2+2ab+b^2-a^2-b^2=2ab=36\iff ab=18$
Os divisores de $18$ são $\{1,2,3,6,9,18\}$
Portanto os pares $(a,b)$ são $\{(1,18),(2,9),(3,6),(6,3),(9,2),(18,1)\}$
Sendo $6$ pares ordenados

5

a)$3^3-3=27-3=24$

b)$1320=a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)$
Mas note que $1320=10\times11\times12$
Portanto $a=11$

c)Como

$a^3-a=(a-1)(a)(a+1)$

Temos que pelo menos um deles tem fator $2$ e exatamente um deles é múltiplo de $3$ logo, ao multiplica-los temos que sempre será um múltiplo de $6$

6

a)$2020\rightarrow1010\rightarrow55\rightarrow56\rightarrow28\rightarrow14\rightarrow7$

b)$8998\rightarrow9049\rightarrow4550\rightarrow4625\rightarrow2326$ que é o 5º termo.

c)Vamos pensar de trás pra frente: Para chegar no 7 precisamos passar pelo 14. Para chegar no 14, no 13 ou 28. Para chegar no 13 passamos pelo 26. Para chegar no 28 passamos 27 ou 56. Para chegar no 26 passamos pelo 52 ou 25. Para chegar no 27 passamos no 54 e no 56 pelo 55. Assim as sequencias são 4:

$7\leftarrow14\leftarrow13\leftarrow26\leftarrow25$

$7\leftarrow14\leftarrow13\leftarrow26\leftarrow52$

$7\leftarrow14\leftarrow28\leftarrow27\leftarrow54$

$7\leftarrow14\leftarrow28\leftarrow56\leftarrow55$

7

a)$79\rightarrow7\times9=63\rightarrow6+3=9$

b)   $(i)\overline{\rm ab}\rightarrow a\times b=3\iff\overline{\rm ab}=\{13,31\}$

$(ii)\overline{\rm ab}\rightarrow a\times b=\overline{\rm cd}\rightarrow c+d=3\iff\overline{\rm cd}=\{12,21,30\}$

• $a\times b=12\iff\overline{\rm ab}=\{26,34,43,62\}$
• $a\times b=21\iff\overline{\rm ab}=\{37,73\}$
• $a\times b=30\iff\overline{\rm ab}=\{56,65\}$

c)Se $a+b+c=0\iff a=b=c=0\iff\overline{\rm abc}=0$ não tem três algarismos então: $\overline{\rm abc}\rightarrow a\times b\times c=0\iff b=0(i),c=0(ii)$ ou $b=c=0(iii)$
Pelo princípio multiplicativo da contagem,$(i)$ e $(ii)$ geram cada um, 81 possibilidades e $(iii)$ gera $9$ possibilidades.
Total: $171$ possibilidades

8

a)$4\rightarrow\times\rightarrow5$ resulta em $8\times10=80$

b)$5\rightarrow\times\rightarrow5\rightarrow\div\rightarrow1$ que resulta em $(10\times10)\div2=100\div2=50$

c)Uma maneira de se obter o $23$ é apertar $4$ teclas $2\rightarrow3\rightarrow\div\rightarrow1$ , que resulta em $46\div2=23$. Como todos os algarismos digitados geram números pares, se usarmos apenas as teclas +, - ou $\times$ o resultado será par e assim ela não obterá o $23$. Portanto, o símbolo $\div$ será usado pelo menos uma vez. Se ela usar outra tecla de operação, como elas não podem ser apertadas duas vezes seguidas, será preciso apertar pelo menos $5$ teclas. Por outro lado, usando apenas uma operação, precisaremos de pelo menos mais outras duas teclas com algarismos. Como nenhuma divisão admissível entre os algarismos do conjunto $\{0, 2,..., 18\}$ produz $23$, o número mínimo de teclas que ela deve usar é $4$.

9

a)$\frac{2\times6}{6-2}=3$

b)Ao pressionar a tecla duas vezes, temos:

$\frac{2\times(\frac{2\times n)}{n-2}}{\frac{2\times n}{n-2}-2}=\frac{\frac{4n}{n-2}}{\frac{2n-2(n-2)}{n-2}}=\frac{4n}{2n-2(n-2)}=\frac{4n}{4}=n$

c)$\frac{2\times n}{n-2}=n$
Se $n\neq0$

$\frac{2}{n-2}=1\iff2=n-2\iff n=4$

Duas soluções $n=\{0,4\}$

d)$\frac{2\times n}{n-2}=x\iff2n=xn-2x\iff2x=n(x-2)\iff n=\frac{2x}{x-2}$
Note que para $x=2$ não existe $n$ portanto qualquer $n$ dará um $x$ exceto $2$.

10

a)Queremos que apareça o número $7\times10^2\times10^7=7\times10^9$. Assim podemos fazer:

$7\times10^2\rightarrow7\times10^{10}\rightarrow\dots\rightarrow7\times10^{34}\rightarrow7\times10^{29}\rightarrow\dots\rightarrow7\times10^9$

b)Queremos que apareça na tela o número $10^{10}\times10^{-4}\times10^7=10^{13}$.

Assim basta fazermos:

$1000\rightarrow1000\times10^{5\times8}\times10^{-6\times5}=10^3\times10^{10}=10^{13}$

c)Note que se dividirmos por $10^5$ $5$ vezes e multiplicarmos por $10^8$ $3$ vezes obtemos $10^{-5\times5}\times10^{8\times3}=10^{-1}$. Assim se repetirmos essa ação $2017-11=2006$ vezes, obtemos o resultado desejado.

11

a)$37\rightarrow38\rightarrow19\rightarrow20\rightarrow10\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow2\rightarrow1$

b)$6\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow2\rightarrow1$
$7\rightarrow8\rightarrow4\rightarrow2\rightarrow1$
$16\rightarrow8\rightarrow4\rightarrow2\rightarrow1$

c)Para cada sequência ímpar de comprimento $5$ existe uma par de comprimento $6$ começando com $2n$ sendo $n$ o primeiro número da sequência de comprimento $5$ e para cada sequência par de comprimento $5$ existe uma ímpar e uma par de comprimento $6$ começando com $n'-1$ e $2n'$ sendo $n'$ o primeiro número da sequência par de comprimento $5$. Portanto existem $3$ pares e $2$ ímpares de comprimento $6$ e analogamente $5$ pares e $3$ ímpares de comprimento $6$.

d)Assim como no item anterior existem $377$ sequências pares e $233$ sequências ímpares totalizando $670$ sequências.

12

a)$2\triangle3=(2+3)+1=6$

b)$0\bigcirc3=0\bigcirc(1\triangle1)=(0\bigcirc1)\triangle(0\bigcirc1)=3\triangle3=(3+3)+1=7$

c)

• $1\bigcirc1=1\bigcirc(0\triangle0)=(1\bigcirc0)\triangle(1\bigcirc0)=3\triangle3=(3+3)+1=7$
• $1\bigcirc3=1\bigcirc(1\triangle1)=(1\bigcirc1)\triangle(1\bigcirc1)=(7+7)+1=15$
• $2\bigcirc3=(0\triangle1)\bigcirc3=(0\bigcirc3)\triangle(1\bigcirc3)=7\triangle15=(7+15)+1=23$

13

a)$3\to B\to6\to B\to9\to A\to81\to B\to84$

b)$1\to B\to4\to B\to7\to A\to49\to B\to52\to B\to55$

c)$54\equiv 0(mod 3)$
$2\equiv -1(mod 3)$
Mas,

• $x+3\equiv x(mod 3)$ (Apertar a tecla B)
• $x\equiv 1,-1(mod 3)\to x^2\equiv1(mod 3)$ (Apertar a tecla A)
• $x\equiv 0(mod 3)\to x^2\equiv0(mod 3)$

Portanto não importa a sequência de teclas nunca dará para sair do $2$ e chegar em um múltiplo de $3$

14

a)$(30,16,14,2,12)$

b)$(7,4,3,1,2)$

c)$(25,a_1,a_2)$

Logo,

$25-a_1=a_2$

$a_2>a_1$

Substituindo:

$25-a_1>a_1\iff25>2a_1\iff12,5>a_1$

$a_1\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$

d)$(60,a_2,a_3,...,a_n)$
Note que para $a_2=37$ temos que $n=9$

$(60,37,23,14,9,5,4,1,3)$

Mas se $n=6$ temos:

$60-a_2=a_3$
$a_2-a_3=a_4\iff a_4=2a_2-60$
$a_3-a_4=a_5\iff a_5=120-3a_2$
$a_4-a_5=a_6\iff a_6=5a_2-180$

Porém $a_5<a_6$

$120-3a_2<5a_2-180\iff a_2>37.5$

Ou seja $a_2\geq38$
Analogamente para $n=7$ temos $a_2\leq36$
Portanto o maior número de termos da sequência é 9 quando $a_2=37$

15

a)$(2,5,6)\rightarrow(7,8,11)\rightarrow(15,18,19)$

b)$(a,b,c)\rightarrow(a+b,a+c,b+c)\rightarrow(13,14,21)$

$2a+b+c=13 (i)$
$a+2b+c=14 (ii)$
$a+b+2c=21 (iii)$

$(i)+(ii)+(iii)$

$4(a+b+c)=48\iff a+b+c=12(iv)$

Substituindo $(iv)$ em $(i),(ii),(iii)$ temos que $(a,b,c)=(1,2,9)$

c)$(a,b,c)\rightarrow(a+b,a+c,b+c)\rightarrow(2a+b+c,a+2b+c,a+b+2c)\rightarrow(48,61,x)$

Ou seja:

$3a+3b+2c=48(i)$
$3a+2b+3c=61(ii)$
$2a+3b+3c=x(iii)$

Somando as equações temos:

$a+b+c=\frac{109+x}{8}(iv)\iff109+x\equiv0(mod 8)\iff x\equiv3(mod 8)$

Substituindo $(iv)$ em $(ii)$ e $(iii)$

$b=\frac{3x-161}{8}$
$a=\frac{327-5x}{8}$

Como $a$ e $b$ são positivos

$3x-161>0\iff x>53,666$
$327-5x>0\iff65,4>x$

Ou seja $x\in\{54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65\}$
Mas $x\equiv3(mod 8)$ então $x=59$