INICIANTE:
Vejamos que e
e como
e como
e como
.
Portanto temos
já que pelo Teorema de Fermat
. c.q.d.
![2222^{5555}+5555^{2222} \equiv (3^6)^{926} \cdot 3^5 + (4^6)^{370} \cdot 4^2 \equiv 243 + 16 \equiv 259 \equiv 0 (mod \ 7)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ba23f8a67c06979edcc7f4bef7a5fae9.gif?w=640&ssl=1)
![a^{\phi(7)} \equiv a^6 \equiv 1 (mod \ 7)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_cfab140dd98fd7bbbff80e59f2f2b034.gif?w=640&ssl=1)
INTERMEDIÁRIO:
Uma equaçãodo segundo grau tem soluções reais se e somente se seu discriminante for não-negativo. Por absurdo, nenhuma das equações acima tem solução real se e somente se
![(a-b)^2-4\cdot(b-c) < 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1bc5e2fd09e7463952a736c939523b7b.gif?w=640&ssl=1)
![(b-c)^2-4\cdot(c-a) < 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_27790740d10dad914524695f4357cba6.gif?w=640&ssl=1)
![(c-a)^2-4\cdot(a-b) < 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_64434b75e8c358711e8ca5d60a079953.gif?w=640&ssl=1)
que somadas implicam na desigualdade
![(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-4[(b-c)+(c-a)+(a-b)] < 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_f9ad4b50a8c3ec6562d5fe59d0fe9f1b.gif?w=640&ssl=1)
![(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 < 0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_29f972d5a16eda39a219727fc3c2b07e.gif?w=640&ssl=1)
uma contradição.
AVANÇADO:
Da equação do enunciado, temos
![a_{n+3}=\dfrac{a_{n} \cdot a_{n+2}}{a_{n+1}}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_294da3d36b81a15238165f995205a0b8.gif?w=640&ssl=1)
Essa igualdade mostra que a sequência tem período
. De fato,
![4](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif?w=640&ssl=1)
![a_{n+4} = \dfrac{a_{n+1} \cdot a_{n+3}}{a_{n+2}}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a64967fe7ec001a492cb7da6795cd789.gif?w=640&ssl=1)
![a_{n+4} = \dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}} \cdot \dfrac{a_{n} \cdot a_{n+2}}{a_{n+1}}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ccaf97d79c7e8048f4a39ae922d149fe.gif?w=640&ssl=1)
![a_{n+4} = a_{n}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4f0de844f047a5edd3581b47cbbcc797.gif?w=640&ssl=1)
Daí,
,
,
e
. Assim,
![a_{1}=a_{11}=4](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_daa8acb4ea02a08e739f3fe699ba1e2e.gif?w=640&ssl=1)
![a_{2}=a_{22}=2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_485154db931546cfb589f6598cc3a3bb.gif?w=640&ssl=1)
![a_{3}=a_{33}=1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_98a4862dcb7ec9cb813b357a16af7a2a.gif?w=640&ssl=1)
![a_{4}=\dfrac{(4 \cdot 1)}{2}=2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9da07db92c1dc1a53aa40da078e67d6e.gif?w=640&ssl=1)
![a_{1}^k+a_{2}^k+ ... +a_{100}^k = 25 \cdot (a_{1}^k+a_{2}^k+a_{3}^k+a_{4}^{k}) = 25 \cdot (4^k+2^k+1^k+2^k) = 25 \cdot (2^{2k}+2\cdot2^{k}+1) = [5 \cdot (2^k+1)]^2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_abed28fcc2585c7dc578bbb73fb9db12.gif?w=640&ssl=1)
concluindo a demonstração.