Soluções Matemática - Semana 1

Problema Iniciante (Solução por Daniel Lima)

Como $2$ é a média aritmética de $1$ e $a$, podemos escrever $\dfrac{1+a}{2}=2$ , logo $a=3$ ; Agora, $b=\dfrac{1+2+3}{3}=2$; $c=\dfrac{1+3+2+2}{4}=2$; também $d=\dfrac{1+3+2+2+2}{5}=2$. Esses exemplos sugerem que todos os termos, a partir do terceiro, são iguais a $2$. De fato, quando introduzimos em uma seqüência um termo igual à média de todos os termos da seqüência, a média da nova seqüência é a mesma que a da seqüência anterior. Assim, o último termo da seqüência dada é $2$.

 

Problema Intermediário (Solução por Daniel Lima)

a) Subtraindo as duas equações, temos que $a^2-b^2=6(b-a) \Longrightarrow (a-b)(a+b)=6(b-a)$ e como $a$ é diferente de $b$, podemos cancelar os $a-b$ nos dois lados e obter $a+b=-6$

b) Elevando $a+b$ ao quadrado obtemos: $a^2+b^2+2ab=36$ $(1)$

Somando as equações dadas obtemos $a^2+b^2=6(a+b) + 10ab=-36+10ab$ $(2)$

Agora, subtraindo $(2)$ de $(1)$ temos que $(a^2+b^2+2ab)-(a^2+b^2)=36-(-36+10ab) \Longrightarrow 2ab=72-10ab \Longrightarrow 12ab=72 \Longrightarrow ab=6$

 

Problema Avançado (Solução por Daniel Lima)

Seja $k$ inteiro positivo tal que $k^2=n+1$. Primeiro, notemos que o algarismo das unidades dos quadrados perfeitos são $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ e $9$, de modo que $B$ é igual a $9$, $3$, $4$, $5$ ou $8$. Porém, podemos eliminar alguns casos:

•  Se $B = 9$, pois nesse caso $k^2 = AAABBB + 1$ terminaria com exatamente três zeros (note que $A$ não pode ser igual a $9$, pois é diferente de $B$);
• Se $B = 3$,$k^2$ terminaria com $34$, e seria par e não múltiplo de $4$, já que os dois últimos algarismos de todo múltiplo de $4$ formam outro múltiplo de $4$, um absurdo.
• Se $B = 4$, $k^2$ terminaria com $45$, e seria múltiplo de $5$ mas não de $25$, já que os dois últimos algarismos de um múltiplo de $25$ são $25$, $50$, $75$ ou $00$. Outro absurdo.

Sobram somente os casos $B = 5$ e $B = 8$. Observe que $n=k^2-1=(k+1)(k-1)=111 (1000A+B)$, que é múltiplo de $111=37*3$ e, portanto, os primos $3$ e $37$ dividem $(k+1)$ ou $(k-1)$ e daí $k=111x+1$,$k=111x-1$,$k=111x+38$ ou $k=111x-38$. Além disso $111556 \le k^2 \le 1000000 \Longrightarrow 300\le k \le 1000$ e daí concluímos que $3 \le k \le 9$

• $k=111x+1$ ou $k=111x-1$

Temos $AAABBB= k^2-1=(111x)^2 +-222x \Longrightarrow 1000A+B = 111x^2+-2x$. O dígito das unidades de $1000A+B$ é $B$. Note que $111x^2+-2x = 2(55x^2+-x) +x^2$ tem a mesma paridade de $x^2$.  Assim, se $B=5$, $x$ é ímpar, ou seja, é $3$, $5$, $7$ ou $9$. Se $x=3$, $5$, $7$, $9$ o algarismo da unidades de$111x^2 +2x$ é $5$, $5$, $3$, $9$,respsctivamente, o que implica que $x=3$ ou $x=5$ para os quais $1000A+B$ será $111*9+6=1005$ e $111*25+10=2785$ (Absurdo, pois $1000A+B$ é da forma $AOOB$), o que nos gera a solução $x=3$,$A=1$ e $n=111555$. Além disso, se $x=3$, $5$, $7$ ou $9$, o dígito das unidades de $111x^2-2x$ é $3$, $5$, $5$, $3$, respectivamente. Assim, as únicas possibilidades são $x=5$ e $x=7$, que nos daria $1000A+B$ igual a $2765$ ou $111*49-14=5425$ ,absurdo nos dois casos!

Se $B=8$, $x$ é par, ou seja $4$, $6$ ou $8$. Se $x=4$, $6$, $8$, o dígito das unidades de $111x^2+2x$ é $4$, $8$ ou $0$, respectivamente. Daí, só poderemos ter $x=6$ e $1000A+B=111*36+12=4008$, obtendo assim que $A=4$. Além disso, se $x=4$, $6$ ou $8$, o dígito das unidades de $111x^2-2x$ será $8$, $4$ ou $8$, respectivamente, nos dando que $x=4$ ou $x=8$, para os quais $1000A+B$ será $111*16-11=1768$ ou $111*64-16=7088$ e geramos absurdos nos dois casos.

• $k=111k+38$ ou $k=111k-38$

Temos $AAABBB= k^2-1=(111x)^2 +-2*111*38x + 38^2 - 1=111(111x^2+-76x +13)\Longrightarrow 1000A+B = 111x^2+-76x +13$. Faremos a mesma análise do dígito das unidades. Se $B=5$, $x$ é par, ou seja, é $4$, $6$ ou $8$. Se $x=4, \ 6, \ 8$ o algarismo da unidades de$111x^2 +76x +13$ é $3, \ 5, \ 5$ respectivamente, o que implica que $x=6$ ou $8$  para os quais $1000A+B$ será $111*36 + 76*6+13=4465$ e $111*64+76*8+13=7725$ (Absurdo nos dois casos, pois $1000A+B$ é da forma $AOOB$). Além disso, se $x=4$, $6$ ou $8$, o dígito das unidades de $111x^2-76x +13$ é $5$, $3$ ou $9$,respectivamente, de modo que $x=4$ e $1000A+B=111*16-76*4+13=1485$ o que não é possível.

Se $B=8$, $x$ é ímpar, ou seja: $3$, $4$, $7$ ou $9$. Se $x=3$, $5$, $7$, $9$, o dígito das unidades de $111x^2+76x+13$ é $0$, $8$, $4$ ou $8$ respectivamente. Daí, só poderemos ter $x=5$ ou $x=9$ para os quais $1000A+B=111*25+76*5+13=3168$(absurdo) ou $k=111*9+38 \ge 1001$ (absurdo de novo). Além disso, se $x=3$, $5$, $7$ ou $9$, o dígito das unidades de $111x^2-76x + 13$ será $4$, $8$, $0$ ou $0$, respectivamente, nos dando que $x=5$ e que $1000A+B= 111*25-76*5+13=2408$ nos dando um último absurdo.

Logo, só teremos duas soluções, que são $AAABBB=111555$ e $AAABBB=444888$