Matemática - Semana 11

Iniciante

Seja $ABC$ um triangulo, $D$ e $E$ pontos no interior dos segmentos $BC$ e $CA$ e $F_1$ um ponto na reta $AB$ de modo que $D,E$ e $F_1$ são colineares. Seja $P$ a interseção de $AD$ e $BE$. Por último, defina $F_2$ como o encontro de $CP$ e $AB$. Prove que $\dfrac{F_1A}{F_1B}=\dfrac{F_2A}{F_2B}$.

 

Intermediário

Prove $MA\ge MG$ para três termos, ou seja, prove que $\dfrac{a+b+c}{3}\ge (abc)^{\frac{1}{3}}$, sempre que tivermos $a,b$ e $c$ reais não-negativos.

 

Avançado

Sobre uma reta há um conjunto $S$ de $6n$ pontos. Destes, $4n$ são escolhidos ao acaso e pintados de azul; os $2n$ restantes são pintados de vermelho. Prove que existe um segmento que cobre exatamente $3n$ pontos de $S$, sendo $2n$ deles pintados de azul e os outros $n$ pintados de vermelho.