Soluções Matemática - Semana 14

Problema Iniciante

Se $x$ e $y$ forem iguais, claramente a equação é válida, pois dá $0$ dos dois lados. Já se $x$ e $y$ forem diferentes, podemos fatorar a expressão como $(x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x-y)(x+y) \Longrightarrow (x^2+xy+y^2=3(x+y) \Longrightarrow x^2+x(y-3)+(y^2-3y)=0$. Fazendo o Bháskara na variável $x$ vemos que o delta é $-3y^2+10y+9$ e como tal delta tem que ser não-negativo e $y$ é inteiro, podemos ver, após fazer o gráfico de $-3y^2+10y+9$ ficamos com $y$ igual a $0,1,2,3$ ou $4$.

Se $y=0\Longrightarrow x=0$ ou $x=3$.

Se $y=1\Longrightarrow x=-1$ ou $x=3$.

Se $y=2\Longrightarrow$ $x$ não será inteiro.

Se $y=3\Longrightarrow x$ não será inteiro.

Se $y=4\Longrightarrow x=-1$ ou $x=0$

Fica para o leitor verificar que tais pares citados acima funcionam de fato (lembre-se que isso é importante em uma prova).

 

Problema Intermediário

A solução para esse problema pode ser vista aqui. Vá na Eureka $38$ (a última das Eurekas disponíveis. A solução começa na página $53$.

 

Problema Avançado

Esse problema é legal de pensar, talvez até meio demorado de resolver, mas a solução é bem curta.

Temos $n$ pessoas. Provavelmente, se todas fizerem a mesma coisa, nada de especial vai acontecer, então vamos dar tarefas diferentes para as pessoas: escolha um líder e o resto será "o povo". Sempre que o líder entrar na sala e ver  lâmpada acessa, ele irá apagá-la. Já um "cidadão" do povo, se encontrar a lâmpada acessa, não vai fazer nada e cada um deles vai ter o direito de acender a luz exatamente uma vez, sendo que, quando ele voltar de novo na sala não fará mais nada. Vejamos porque essa estratégia funciona: como todo mundo entra na sala muitas vezes, a lãmpada será acessa $n-1$ vezes e o líder terá apagado a lâmpada $n-1$ vezes. Como cada pessoa só acendeu a lâmpada uma vez, o líder saberá que todo "o povo" já entrou na sala e poderá enfim dizer a frase libertadora!