Matemática - Semana 17

Iniciante

De quantas maneiras podemos dividir o conjunto ${1, 2, 3, ..., 1995}$ em 3 subconjuntos distintos 2 a 2 tal que nenhum deles contém um par de números consecutivos?

Intermediário

Na Ilha Colorida, todos os camaleões eram azuis. Cada um tinha 1 ou 5 amigos. Um dia, os que tinham 1 amigo viraram amarelos e os que tinham 5 amigos, verdes. Assim, todos os que eram amigos tinham cores distintas. Mais tarde, 30 amarelos viraram verdes e 40 verdes viraram amarelos. Assim, os que são amigos agora têm a mesma cor. Quantos camaleões há na Ilha Colorida?

Avançado

Determine todos os inteiros positivos $n\ge 2$ que satisfazem a seguinte condição: para todos os inteiros $a$, $b$ relativamente primos com $n$, $a\equiv b (mod\ n)$ se, e somente se $ab \equiv 1 (mod\ n)$.