Soluções Matemática - Semana 2

Iniciante (Solução por Daniel Lima Braga)

Se você tentar observar um padrão, vai ver que os valores obtidos em cada soma são os quadrados perfeitos, logo, nosso palpite sortudo seria $A=2007^2$ e daí a nossa resposta seria $\dfrac{A^2}{223^2}=\dfrac{2007^2}{223^2} = 9^2=81$.

Porém um chute não vale! Isso foi só para ter uma ideia de onde queremos chegar. O que vamos usar usar aqui é algo muito importante: Soma de Gauss. O fato é que $1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Daí chegaríamos que

$$A=1+2+...+2006+2007+2006+...+2+1=(1+2+...+2007) + (1+2+...+2006) =\dfrac{2007\cdot 2008}{2} +\dfrac{2006 \cdot 2007}{2} =2007 \cdot \dfrac{2008+2006}{2} =2007^2$$

Ótimo, falta só provar a soma de Gauss!

Ela é a parte mais legal do problema. Seja $S$ a soma de $1$ até $n$.

Logo: $1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=S$ $n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1=S$ E somando a expressão de cima com a de baixo, termo a termo, temos: $(n+1)+(n+1)+...+(n+1)=2S \Longrightarrow n(n+1)=2S \Longrightarrow S=\dfrac{n(n+1)}{2}$ e assim concluímos nosso problema.

Intermediário (Solução por Daniel Lima Braga)

Ao ir de $B$ para $C$ podemos passar por 1, 2, 3, 4 , 5 ou 6 das cidades $A_i$'s. Suponha que ele passou por $x$ cidades entre $C$. Daí saindo de $B$, temos $6$ modos de escolher a cidade seguinte, depois teremos $5$ modos de escolher a próxima cidade, ...,teremos $(7-x)$ modos de escolher a última cidade antes de $C$ e daí chegamos em $C$. Ou seja, dado que passamos por $x$ cidades entre $B$ e $C$, temos $6 \cdot 5 ...(7-x)$ modos de fazer nossa trajetória. Logo o total de trajetórias é a soma dessas expressões que achamos quando $x$ varia de $1$ a $6$, que vai dar: $6+6\cdot 5+6\cdot 5\cdot4 +6\cdot 5\cdot4 \cdot 3+6\cdot 5\cdot4 \cdot 3\cdot 2+6\cdot 5\cdot4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1=1956$

Avançado (Solução por Daniel Lima Braga)

Vamos analisar algumas congruências para obter informações sobre $a$ e $b$. Analisando a equação dada módulo $3$ e lembrando que $5\equiv (-1) (mod.3)$ vemos que: $4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 0\equiv 2+(-1)^b (mod.3) \Longrightarrow b$  é par.

Veja que as potências de $3$ tem período $4$ em relação à congruência módulo $5$: $3^1 \equiv 3(mod.5)$ $3^2 \equiv 4(mod.5)$ $3^3 \equiv 2(mod.5)$ $3^4 \equiv 1(mod.5)$ $3^5 \equiv 3(mod.5)$ ...

Agora, analisando a equação dada módulo $5$, obtemos que $4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 4\cdot 3^a\equiv 1 (mod.5) \Longrightarrow 3^a \equiv 4(mod.5) \Longrightarrow a$deixa resto $2$ por $4$ e desse modo é par.

Faça $a=2c$ e $b=2d$. Agora $4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 4\cdot 3^{2c}=11+5^{2d}\Longrightarrow 11=(2\cdot 3^c)^2-(5^d)^2\Longrightarrow 11=(2\cdot 3^c +5^d)(2\cdot 3^c -5^d)$

Como $11$ é primo, um dos parentenses será $11$ e o outro erá $1$. Como $2\cdot 3^c -5^d <2\cdot 3^c +5^d$ $(2\cdot 3^c +5^d)=11$ $(2\cdot 3^c -5^d)=1$

Somando as duas equações teremos que $4\cdot3^c = 12 \Longrightarrow c=1$ e substituindo $c$ na primeira equação teremos que $d=1$ também.

Daí $a=b=2$ é solução única para o problema.