Iniciante
Seja e chame
e
de forma que
. Logo:
e consequentemente,
e
e não há outra opção além de
e
:
.
Itermediário:
Sim. Tomando , temos
.
Avançado:
Temos . Note que a maior potência de
que divide
é
. Seja
a maior potência de
que divide
. Então, pelo lema de Hensel, a maior potência de
que divide
é
. Logo
. Observando ainda que, como
divide
,
,
.
Deste modo, sendo , temos
, que é verdadeiro para
e
mas falso para
1" />, pois nesse caso
\left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 0 \\ \end{array}} \right)1^t + \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 1 \\ \end{array}} \right)1^{t-1}\cdot6 = 1 + 6t" />. Notando que
e que ocorre a igualdade para
, temos
e que todas as desigualdades anteriores são igualdades, isto é,
e
.