Soluções Matemática - Semana 21

Iniciante

Como $mdc(8,29)=1$, pelo pequeno teorema de Fermat: $8^{29-1}\equiv1\pmod{29} \Rightarrow (8^{28})^{32}\equiv1^{32}\pmod{29} \Rightarrow 8^{896}\equiv1\pmod{29} \Rightarrow 8^{900}\equiv8^4\equiv8^2 \cdot 8^2 \equiv 64 \cdot 64 \equiv 6 \cdot 6 \equiv 7\pmod{29} \Rightarrow 8^{900}$ deixa resto $7$ na divisão por $29$.

Intemediário

Aplicação direta do Teorema de Turán:

$\mid A \mid \ge \dfrac{n^2}{2}(1-\dfrac{1}{5}) = \dfrac{4n^2}{10} = \dfrac{2n^2}{5}$

Avançado

A prova consistirá no princípio de dualidade da Geometria Projetiva: se letras maiúsculas representam os pontos e letras minúsculas suas respectivas polares, então

$R \in s \Rightarrow S \in r$

Por construção , a reta polar de X é BC. Daí, $P \in x$ e portanto $X \in p$. Mas então, como $A \in p$, segue que

$p = AX$

o que, em particular, garante que AX e PO são perpendiculares.