Matemática - Semana 22

Iniciante

Seja $n>2$ um inteiro. Prove que:
$(k+1)(n-k)>n$
se $k=1,2,3, ...,n-2.$

Intermediário

Prove que para todos os reais não-negativos $a,b,c$ vale que

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$

Avançado

Considere $2n$ pontos no plano, quaisquer $3$ deles não colineares. Pintamos $n$ deles de vermelho e os outros de azul. Prove que é possível agrupar os pontos em pares utilizando segmentos com extremidades em pontos de cores distintas de modo que quaisquer dois segmentos não se cortem.