Soluções Matemática - Semana 9

Iniciante

Esse é o típico problema que aparece na prova para te assustar. Mas olhe com um pouco mais de atenção: temos expoentes muito grandes e estranhos, mas vamos focar nos expoentes pequenos. No caso, temo dois expoentes $2$, então passa tudo para um lado só e fatora.

$n^2-a_1^2-(n+a_1)(n-a_1)$ e fazendo $a_1=x$ e $n=x+1$ daí teríamos $n^2-a_1^2=2x+1$, ou seja, nessa diferença entre quadrados conseguimos qualquer número ímpar e maior que $1$ que quisermos.

Para encerrar a história, faça $a_2$ um número par bem grande e $a_3,a_4,...,a_2015$ números ímpares grandes também.

Daí $a^2+...+a_2015^(P_2015)$ é ímpar e portanto igual a um certo $2k+1$ com $k$ inteiro positivo. Daí basta fazer $n=k+1$ e $a_1=k$ e assim achamos um exemplo que funciona para o problema.

Intermediário

Veja que, da equaçao dada vemos que $f(x)$ é múltiplo de $3$ para todo $x$, e substituindo $x$ por $g(x)$ temos que $3$ divide $f(g(x))$ para todo $x$. Voltando para a equação inicial temos agora que $3^2$ divide $f(x)$ para todo $x$ (pois já temos um fator $3$ em $f(g(x))$). De $3^2|f(x) \Longrightarrow 3^2|f(g(x))$. De novo na equação inicial vemos agora que $3^3|f(x)$. Podemos fazer esse processo repetidas vezes e obter por indução simples que, para cada $k$ inteiro positivo temos que

$3^k|f(x)$ para todo $x$.

Opa! Mas, fixado um $x$, sabemos que $f(x)$ é um valor definido e finito e o único inteiro que é múltiplo de todas as potencias de $3$ é o $0$. Assim concluímos que $f(x)=0$ para todo $x$ inteiro e é fácil testar e ver que esa função satisfaz o enunciado do problema.

Avançado

Esses problemas que só envolvem $f$ de uma variável tem algumas ideias bem clássicas que devemos ter sempre em mente, como olhar para ponto fixos da função, achar funções recorrentes, dentre outras. A ideia que vamos explorar aqui é forçar o aparecimento de uma função que desejamos e usar o que aprendemos no problema do intermediário, veja só:

Tente chutar a função que você imagina que fosse a resposta. A maioria dos chutes é de uma função linear, às vezes uma função exponencial, mas após alguns testes vemos que $f(x)=2x$ satisfaz o problema! Vamos tentar provar que ela é a única solução.

Podemos escrever $f(x)=2x+h(x)$, onde $h$ também é uma função dos inteiros nos inteiros. Nossa intenção agora é provar que $h$ é a função identicamente nula. Vamos lá!

$7f(x)=3f(f(x))+2x \Longrightarrow 14x+7h(x)=3f(h(x)+2x)+2x=3[2(h(x)+2x)+h(h(x)+2x)]+2x \Longrightarrow14x+7h(x)=14x+6h(x)+3h(h(x)+2x) \Longrightarrow h(x)=3h(h(x)+2x)$. Olha que beleza, se olharmos para $h(x)+2x$ como uma função $g(x)$ ficamos com $h(x)=3h(g(x))$ e como vimos no problema anterior, $h$ será a função identicamente nula.

Assim, a função que procuramos é únicamente $f(x)=2x$