Matemática - Soluções Semana 28

Seja P o primeiro pino que voltou para a sua posição inicial. Um movimento antes dele voltar para sua casa, cada um dos outros pinos deve ter feito um movimento. De fato, se isso não fosse verdade, P não poderia ter passado por todas as casas do tabuleiro. Desse modo, este será o momento em que todos os pinos estarão em casas diferentes das iniciais.

Se $n+2$ e $n^2+n+1$ são ambos cubos perfeitos, então seu produto também é um cubo perfeito:

$(n+2)(n^2+n+1)=(n-1)(n^2+n+1)+3\cdot(n^2+n+1)=(n^3-1)+(3n^2+3n+3)<wbr />=(n+1)^3+1$

Absurdo! Não existem dois cubos perfeitos cuja diferença é $1$.

$x^2-6y+10=4\sqrt{3x-2}-4y$

$y^2-4x+11=6\sqrt{4y-3}-3x$

Somando temos:

$x^2-4x+4+y^2-6y+9+8=4\cdot\sqrt{3x-2}-4y+6\sqrt{4y-3}-3x$

Chame $a=\sqrt{3x-2}$ e $b=\sqrt{4y-3}$. Temos:

$(x-2)^2+(y-3)^2+8=4a-4y+6b -3x$

$(x-2)^2+(y-3)^2+(4y-3)+(3x-2)+13-4a-6b=0$

$(x-2)^2+(y-3)^2+a^2-4a+4+b^2-6b+9=0$

$(x-2)^2+(y-3)^2+(a-2)^2+(b-3)^2=0$

Portanto:

$x=2$ ou $y=3$ ou $a=2 \Rightarrow x=2$ ou $b=3 \Rightarrow y=3$

Logo $x=2$ e $y=3$ é solução única.