INICIANTE:
Seja P o primeiro pino que voltou para a sua posição inicial. Um movimento antes dele voltar para sua casa, cada um dos outros pinos deve ter feito um movimento. De fato, se isso não fosse verdade, P não poderia ter passado por todas as casas do tabuleiro. Desse modo, este será o momento em que todos os pinos estarão em casas diferentes das iniciais.
INTERMEDIÁRIO:
Se
e
são ambos cubos perfeitos, então seu produto também é um cubo perfeito:
![n+2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9c79b95bd5c976488be3eb116502d690.gif?w=640&ssl=1)
![n^2+n+1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a9faa09b54fb6d13477669f713491117.gif?w=640&ssl=1)
![(n+2)(n^2+n+1)=(n-1)(n^2+n+1)+3\cdot(n^2+n+1)=(n^3-1)+(3n^2+3n+3)<wbr data-recalc-dims=](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_55fde3f8eaea29e16ac81e669ec74c29.gif?w=640&ssl=1)
Absurdo! Não existem dois cubos perfeitos cuja diferença é
.
![1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.gif?w=640&ssl=1)
AVANÇADO:
![x^2-6y+10=4\sqrt{3x-2}-4y](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3bf2886be4624d61a704761f70449d1b.gif?w=640&ssl=1)
![y^2-4x+11=6\sqrt{4y-3}-3x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d255464182a1bd4b24fddc52d41d15f6.gif?w=640&ssl=1)
Somando temos:
![x^2-4x+4+y^2-6y+9+8=4\cdot\sqrt{3x-2}-4y+6\sqrt{4y-3}-3x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8a615c5402fde71b13264a66079b6678.gif?w=640&ssl=1)
Chame
e
. Temos:
![a=\sqrt{3x-2}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c7464f29950ced35464d0ed144164c36.gif?w=640&ssl=1)
![b=\sqrt{4y-3}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8910a707f26c3110e4597b0f2c638612.gif?w=640&ssl=1)
![(x-2)^2+(y-3)^2+8=4a-4y+6b -3x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_83b6a11f1214157a8be1f56258ae5856.gif?w=640&ssl=1)
![(x-2)^2+(y-3)^2+(4y-3)+(3x-2)+13-4a-6b=0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_363d7ac054b46814556c3be698ba2dba.gif?w=640&ssl=1)
![(x-2)^2+(y-3)^2+a^2-4a+4+b^2-6b+9=0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4bf4061a3281f80622cf9ddb6f3532fe.gif?w=640&ssl=1)
![(x-2)^2+(y-3)^2+(a-2)^2+(b-3)^2=0](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3c01716945c9314637f7499255ca8c3f.gif?w=640&ssl=1)
Portanto:
![x=2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.gif?w=640&ssl=1)
![y=3](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2afffe4b624abdd27735b7626f7a810d.gif?w=640&ssl=1)
![a=2 \Rightarrow x=2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a8e7e307e957aeae36f779fa3abbdc6b.gif?w=640&ssl=1)
![b=3 \Rightarrow y=3](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5db400c71f466b12e95cd04c2db385f0.gif?w=640&ssl=1)
Logo
e
é solução única.
![x=2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.gif?w=640&ssl=1)
![y=3](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2afffe4b624abdd27735b7626f7a810d.gif?w=640&ssl=1)