NOIC - Matemática - Semana 34

INICIANTE:

Se $a,b,c$ são números reais tais que $a^2+b^2+c^2=1$, prove que:

$- \dfrac{1}{2} \le ab + bc + ca \le 1$

INTERMEDIÁRIO:

Para todo inteiro positivo $n$, prove que $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+ ... +\dfrac{1}{n} \ge \dfrac{1}{2} (log_2 (n+1) )$.

AVANÇADO
 
 Encontre todas as funções  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tais que
 
 $f(x+y)+y\le f(f(f(x)))$
 
 Para todos $x,y$