SEMANA 59 MATEMÁTICA

 

Iniciante

Considere um triângulo $ABC$ com $A$-excírculo $k_a$ e diga que o raio de $k_a$ é $r_a$. Defina $r_b$ e $r_c$ analogamente. Dado que $r_a=r_b=r_c$, prove que $ABC$ é equilátero.

Intermediário

Seja $s(n)$ a soma dos quadrados dos dígitos de $n$. Ache todos os inteiros positivos $n$ tais que $s(n)=n$.

Avançado

Dizemos que $n$ é legal se o menor fator primo de $(n!)^n +1$ é no máximo $n+2019$. Determine se o números de inteiros positivos legais é finito ou infinito.