SEMANA 61 MATEMÁTICA

 

Iniciante

Um monge começa a caminhar em uma estrada exatamente às 6:00 da manhã e termina seu caminho exatamente às 18:00 da tarde. No dia seguinte, ele faz o caminho contrário, começando às 6 e terminando às 18. Prove que existe um horário no dia em que o monge estava exatamente na mesma posição nesse horário nos dois dias. Note que o monge não precisa andar necessariamente com uma velocidade constante ou de modo igual nos dois dias.

Intermediário

Sejam $x,y,z$ inteiros positivos tais que $29|x^4+y^4+z^4$ prove que $29^3|x^4+y^4+z^4$

Avançado

Determine todos os polinômios $P(x)$ com coeficientes reais tais que

$P(2P(x)) = 2P(P(x)) + 2(P(x))^2$

para todo número real x.