Soluções Matemática - Semana 30

INICIANTE:

É claro que $a \ge b$. Por absurdo, suponha que $a>b$. Note que

$b(a^2+ab+1) - a(b^2+ab+1) = b-a$

e portanto

$b^2+ba+1 | a-b$

Por outro lado,

$b^2+ab+1>a-b$,

absurdo. Assim, $a=b$.

INTERMEDIÁRIO:

Seja $p$ um primo $\ge3$ e diferente de $5$. Temos $\dfrac{5^{2p-2}-1}{2p} = \dfrac{5^{2(p-1)}-1}{2p} = \dfrac{(5^{p-1}-1)}{p} \cdot \dfrac{(5^{p-1}+1)}{2}$. Analisando módulo $p$, pelo pequeno Teorema de Fermat, $5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow 5^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$ e $5^{p-1} \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow 5^{p-1} + 1 \equiv 0 \pmod{2}$. Assim, $\dfrac{5^{p-1}-1}{p}$ é inteiro e $\dfrac{5^{p-1}+1}{2}$ é inteiro $\Rightarrow \dfrac{5^{n-2}-1}{n}$ é inteiro quando $n=2p$. Como existem infinitos primos $p$, existem infinitos $n$ que satisfazem a condição do enunciado.

AVANÇADO:


Como nossa desigualdade é homogênea, podemos supor, sem perder a generalidade, que $a+b+c=1$.

Assim, como $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ é convexa nos reais positivos, temos:

$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{a^{3}4+b^3+c^3+24abc}}$.

Resta então mostrar que $a^3+b^3+c^3+24abc \le 1 = (a+b+c)^3$, mas isso ocorre, pois é o mesmo que $\displaystyle\sum_{sym} a^{2}b \ge \displaystyle\sum_{sym} abc$ (verdadeiro por MA-MG, ou Muirhead).