OBM 2015 - Nível 2 - P1

Problema 1
Prove que existe um número que pode ser representado de pelo menos $2015$ maneiras diferentes como soma de quadrados de números naturais não nulos, não necessariamente todos distintos. Considera-se que duas somas que alteram apenas a ordem das parcelas constituem uma mesma representação.
Por exemplo, $1^2+1^2+3^2+3^2+7^2+10^2$ e $5^2+12^2$ são duas maneiras distintas de escrevermos $169$ como soma de quadrados.

Solução de João Linhares: O número $8056$ satisfaz a condição.

$8056=4\cdot2014=2^2+2^2+2^2+...+2^2\mathsf{(2014 vezes)}$

Perceba que:

$2^2=1^2+1^2+1^2+1^2$

Portanto, basta escolher  $k$ $(0\leq$ k $\leq2014)$ dentre os $2014$ $2^2$ e trocar por $4$ $1^2$, obtendo assim uma nova configuração. Como existem $2015$ valores de k, $8056$ pode ser escrito de $2015$ maneiras diferentes como soma de quadrados.