OBM 2015 – Nível 2 – P2

PROBLEMA 2

Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo. As retas $AB$ e $CD$ cortam-se em $E$ e as retas $BC$ e $AD$ cortam-se em $F$. Sejam $P$ e $Q$ os pés das perpendiculares de $E$ sobre as retas $AD$ e $BC$, respectivamente, e sejam $R$ e $S$ os pés das perpendiculares de $F$ sobre as retas $AB$ e $CD$, respectivamente. As retas $ER$ e $FS$ se cortam em $T$.

a) Mostre que ha uma circunferência que passa pelos pontos $E$,$F$,$P$,$Q$,$R$ e $S$.

b) Prove que a circunferência que passa pelos vértices do triângulo$RST$ é tangente à circunferência que passa pelos vértices do triângulo $QRB$.

SOLUÇÃO por João Linhares.

a) $\angle FRE=\angle FSE=\angle FPE=\angle FQE=90$° $\iff E,F,P,Q,R,S$ são concíclicos e pertencem a uma circunferência de diâmetro $EF$.

b) Seja $T'= CD\cap(TRS)$ e $F'= RF\cap(BRQ)$, daí:

$\angle T'RT + \angle T'ST = 180$°$\iff \angle T'RT = 90$°

Portanto $T',R,F$ e $F'$ são colineares. Mas,

$RTST'$ é cíclico $\iff \angle TT'R=\angle TSR$
$RSQF$ é cíclico $\iff \angle FSR=\angle FQR$
$RQF'B$ é cíclico $\iff \angle BQR=\angle BF'R$

Logo $\angle TT'R=\angle BF'R$. E consequentemente:

$\triangle RT'T \sim \triangle RF'B (AA)\iff \frac{2R_1}{RT}= \frac{2R_2}{RB} \iff$

$\iff \triangle BO_2R \sim \triangle TO_1R (LLL) \iff \angle BRO_2 = \angle TRO_2$

Portanto $O_2,R$ e $O_1$ são colineares e então as circunferências se tangenciam em $R$.