OBM 2015 - Nível 2 - P3

PROBLEMA 3

Seja $ABC$ um triângulo e $n$ um inteiro positivo. Sobre o lado $BC$ considere os pontos $A_1, A_2, ..., A_{2^n-1}$ e dividem o lado em $2^n$ partes iguais, ou seja, $BA_1=A_1A_2=...=A_{2^n-2}A_{2^n-1}=A_{2^n-1}C$ . Defina os pontos $B_1, B_2,..., B_{2^n-1}$ e $C_1, C_2,..., C_{2^n-1}$ sobre os lados $CA$ e $AB$ , respectivamente, de maneira análoga. Trace os segmentos $AA_1, AA_2,..., AA_{2^n-1}, BB_1, BB_2,..., BB_{2^n-1}$ e $CC_1, CC_2,..., CC_{2^n-1}$ . Determine, em função de $n$ , em quantas regiões foi dividida a região delimitada pelo triângulo $ABC$ por esses segmentos.

SOLUÇÃO.

Primeiramente começaremos com um lema:

Lema 1: Há exatamente $3 \cdot 2^n-5$ pontos nos quais três cevianas concorrem e além disso, se três cevianas concorrem, ao menos uma delas é uma mediana.

Prova: Suponha que três cevianas $AA_i,BB_j$ e $CC_k$ concorrem e nenhuma delas é mediana. Suponha que os pontos $A_i, B_j, C_k$ dividem seus respectivos lados nas razões $\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2}$ ; todas elas em suas formas irredutíveis. Note que $a_1+a_2; b_1+b_2; c_1+c_2$ são potências de $2$ e todos os números $a_1, a_2,..., c_1, c_2,$ são impares(note que $a_1=a_2$ não é possível, visto que $AA_i$ não é mediana) e por Ceva $\frac{a_1}{a_2}\times \frac{b_1}{b_2}\times \frac{c_1}{c_2}=1$ . Além disso, como $a_1\neq a_2\Rightarrow a_1+a_2\geq 4$ .
Observe que como $a_1+a_2$ é potência de $2$ e são impares, então $a_1\equiv -a_2(mod. 4)\Rightarrow \frac{a_1}{a_2} \equiv -1(mod. 4)$ ; analogamente para $(b_1, b_2)$ e $(c_1, c_2)$ ; obtemos que $1=\frac{a_1}{a_2}\times \frac{b_1}{b_2}\times \frac{c_1}{c_2}\equiv (-1)^3\equiv -1(mod.4)$ . Absurdo!

Cada mediana é cortada por $2^n-1$ pontos por outra ceviana(partindo de um vértice) e pelo Teorema de Ceva, existe exatamente uma outra ceviana(partindo do vértice oposto) que intersecta um desses ponto, logo temos $3(2^n-1)-2=3\cdot 2^n-5$ pontos de concorrência(O baricentro é contado $3$ vezes).

Voltando ao problema, esqueça temporariamente as cevianas que partem de $A$ e desenhe as cevianas que partem de $B$ e $C$ . Agora desenhe a ceviana $AA_1$ , note que ela irá intersectar todas as cevianas que partem de $B$ e de $C$ , e pelo Lema só haverá $2$ pontos no qual temos tripla concorrência (mediana dos vértices de $B$ e $C$ ), assim temos no total $2(2^n-1)+2-2=2^{n+1}-2$ , pontos na ceviana $AA_1$ (contando os extremos), note que cada par de pontos consecutivos divide uma região gerada em duas(veja as Figuras); e inicialmente, sem as cevianas de $A$ , temos $2^{2n}$ regiões geradas. Assim a quantidade de regiões geradas pela ceviana é $2^{n+1}-2-1=2^{n+1}-3$ (quantidade que pares consecutivos). Repetindo tal procedimento para todas as cevianas, exceto a mediana de $A$ ; obtemos $(2^{n+1}-3)(2^n-2)$ novas regiões. A mediana de $A$ possui $(2^n-1)+2$ pontos e assim gera $2^n$ novas regiões. Por fim, o total de regiões é: