OBM 2015 - Nível 2 - P5

PROBLEMA 5

Seja $n$ um inteiro positivo e sejam $n = d_1 > d_2 >... > d_k = 1$ seus divisores positivos.

a) Prove que

$d_1-d_2+d_3-d_4+...+(-1)^{k-1}d_k=n-1$

apenas se $n$ é primo ou $n=4$.

b) Determine os três inteiros positivos $n$ para os quais

$d_1-d_2+d_3-d_4+...+(-1)^{k-1}d_k=n-4$.

SOLUÇÃO.

a) Como $d_1=n \Rightarrow d_2-d_3+...+(-1)^kd_k=1$, mas se $k\geq 7 \Rightarrow (d_2-d_3)+(d_4-d_5)+(d_6-d_7)+...+(-1)^k \geq 2$, se $k=5,6$ basta notar que $(d_2-d_3)+(d_4-d_5) \geq 2$, e para $k=4$ temos $(d_2-d_3)+d_4 \geq 2$, logo $k=2$ ou $k=3$, se $k=2 \Rightarrow$ $n$ é primo, se $k=3 \Rightarrow n=p^2$, com $p$ primo e portanto $p-1=1 \Rightarrow p=2 \Rightarrow n=4$.(Note que $(d_i-d_{i+1})\geq 1$, para todo $i$).

b) Se $n$ possuir mais que $10$ divisores, então bastar notar que

$d_1-d_2+d_3-d_4+...+(-1)^{k-1} \leq n-(d_2-d_3)-(d_4-d_5)-(d_6-d_7)-(d_8-d_9)-(d_{10}-d_{11}) \leq n-5$

Logo $k\leq 10$. Vamos aos casos:

Se $k=10$, Temos $n-(d_2-d_3)-(d_4-d_5)-(d_6-d_7)-(d_8-d_9)-(d_{10})\leq n-5$.

Se $k=9$, devemos ter $n$ da forma $n=p^8$ ou $n=p^2q^2$(com $p,q$ primos), note que devemos ter $(d_8-1)=1 \Rightarrow d_8=2 \Rightarrow n=2^8, 4q^2$ é facil ver que $n=256$ não é solução e se $q\geq 7 \Rightarrow (d_6-d_7)=(q-4)\geq 3$, logo $q=3,5$; mas $n=36, 100$ não são soluções.

Se $k=8$, devemos ter $n=p^7, p^3q, pqr$ (com $p,q,r$ primos); se $p$ ou $q\geq 5$ basta notar que $p^2-p\geq 2$ e $q-p\geq 2$, logo $n=24, 54, 6r$; é fácil ver que $n=24, 54$ não são soluções. Se $n=6r$, devemos ter $r\leq 7$(se não $(d_4-d_5)\geq 2$), logo $n=30, 42$; ambos não são soluções.

Se $k=7$, devemos ter $n=p^6$, se $p\geq 3$, temos $p^3-p^2\geq 3$, além disso, $n=2^6=64$ não é solução.

Se $k=6$, devemos ter $n=p^5, pq^2$; se $p\geq 3$, como $(d_4-d_5)=p^2-p\geq 6$ e $n=2^5=32$ não é solução, temos $n=pq^2$; se $q\geq 3$ não é dificil ver que ou $(d_2-d_3)$ ou $(d_4-d_5)$ é maior que $2$, logo $q=2 \Rightarrow n=4p$, logo, ou $p=3 \Rightarrow n=12$ ou $2p-p+4-2+1=4\Rightarrow p=1$(absurdo). Mas note que $n=12$ é solução.

Se $k=5$, devemos ter $n=p^4$, e assim $p^3-p^2+p-1=4\Rightarrow p|5 \Rightarrow n=5^4$, mas $n=625$ não é solução.

Se $k=4$, devemos ter $n=pq, p^3$; logo, ou $q-p+1=4\Rightarrow q-p=3 \Rightarrow (q,p)=(5,2)$ ou $p^2-p+1=4\Rightarrow p|3\Rightarrow p=3$, porém $n=27$ não é solução. Mas $n=10$ é solução.

Se $k=3$, devemos ter $n=p^2\Rightarrow p-1=4\Rightarrow p=5$ e por fim $n=25$ é solução.

Resposta: $n=10, 12, 25$.