OBM 2015 - Nível 2 - P6

Problema 6:

Seja $ABC$ um triângulo escaleno e $AD$, $BE$ e $CF$ as bissetrizes internas, com $D$ sobre $BC$, $E$ sobre $AC$ e $F$ sobre $AB$. É dado que $\angle AFE$ = $\angle ADC$. Calcule a medida do ângulo $\angle BCA$.

Solução de João Linhares:

Seja $P=AD\cap EF$ e $Q=BC\cap EF$
Fazendo Ceva em $\triangle ABC$ e Menelaus em $\triangle ABC$ cortado por $FEQ$ temos:

$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$$

$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$$

Logo:

$$\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC}$$

 

Mas como $D$ é pé da bissetriz, temoso teorema da bissetriz interna:

$$\frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}\iff \frac{BQ}{QC}=\frac{BA}{AC}$$

Logo, $AQ$ é bissetriz externa de $\angle BAC$ e com isso temos que $\angle DAQ=90$°

$\angle AFQ=\angle ADQ\iff AFDQ$ é cíclico $(i)\iff \angle FAD=\angle FQD$
$\angle PAC=\angle FAD=\angle FQD\iff APCQ$ é cíclico($ii$)

($i$)$\to \angle DFQ=90$° e ($ii$)$\to \angle DCP=90$°
Logo $FDCP$ é cíclico$\iff \angle FPD=\angle DCA\cdot\frac{1}{2}$
$\angle AFP=\angle ADC$ e $\angle FAP=\angle DAC\to \angle FPA=\angle DCA\iff \angle FPD=180$°$-\angle DCA$
Portanto, $180$°$- \angle DCA=\angle DCA\cdot\frac{1}{2}\iff\angle DCA=120$°