Problema 1
Seja ABC um triângulo escaleno e acutângulo e N o centro do círculo que passa pelos pés das três alturas do triângulo. Seja D a interseção das retas tangentes ao circuncírculo de ABC e que passam por B e C. Prove que A, D e N são colineares se, e somente se, ∠BAC=45º.
Solução de Matheus Bezerra:
Usaremos aqui o fato (1) de N ser o centro do círculo de 9 pontos de ABC, visto que ele é centro do círculo que passa pelos pés das alturas do triângulo.
Assim, sabemos que o centro N do círculo de 9 pontos é o ponto médio do segmento que liga H e O, que são os ortocentro e circuncentro do triângulo, respectivamente.
Como os segmentos BD e CD são tangentes ao circuncírculo, então, por ângulos semi-inscritos ∠BAC=45º ⇔∠CBD=∠BCD=∠BAC=45º ⇔∠BDC=180º−∠CBD−∠BCD=90º.
Agora, como O é centro do circuncírculo de ABC, por ângulo central podemos afirmar também que ∠BAC=45º ⇔∠BOC=2⋅∠BAC=2⋅45º=90º=∠BDC. Assim, como BOC e BDC são ambos triângulos isósceles, isso acontece ⇔ eles possuem dois ângulos congruentes e um lado em comum,o que ocorre ⇔ eles são congruentes ⇔ BOCD é um paralelogramo. Logo, equivale a OD e BC intersectarem-se ao meio, e sendo M o ponto médio de BC, é o mesmo que termos DM=MO.
Usaremos agora um fato(2) conhecido que afirma que a metade do comprimento de AH equivale ao tamanho de OM. Com isso, temos que nossa hipótese acontece ⇔ AH=2⋅OM=OM+DM=OD, além de que por OD e AH serem ambos perpendiculares a BC, eles são paralelos entre si. De posse desses dois resultados, concluímos que a hipótese é válida ⇔ ODHA é paralelogramo, e então que AD e OH cortem-se ao meio. Mas já sabemos que N é ponto médio de OH, o que nos permite concluir que isso ocorre se, e somente se, N pertence a AD, como queríamos demonstrar 
REFERÊNCIAS.
Consulte as provas dos fatos (1) e (2) no Lema 2.7 do material a seguir do Professor Rafael Filipe. Aproveito para recomendar o estudo desse material, que aborda muitos fatos importantes: