Problema 1
Seja ABC um triângulo escaleno e acutângulo e 
o centro do círculo que passa pelos pés das três alturas do triângulo. Seja 
a interseção das retas tangentes ao circuncírculo de 
e que passam por 
e 
. Prove que 
, e são colineares se, e somente se, 
º.
Solução de Matheus Bezerra:
Usaremos aqui o fato (1) de ser o centro do círculo de 9 pontos de , visto que ele é centro do círculo que passa pelos pés das alturas do triângulo.
Assim, sabemos que o centro do círculo de 9 pontos é o ponto médio do segmento que liga 
e 
, que são os ortocentro e circuncentro do triângulo, respectivamente.
Como os segmentos 
e 
são tangentes ao circuncírculo, então, por ângulos semi-inscritos 
º 
º 
º
º.
Agora, como é centro do circuncírculo de , por ângulo central podemos afirmar também que º 
º
º
. Assim, como 
e 
são ambos triângulos isósceles, isso acontece 
eles possuem dois ângulos congruentes e um lado em comum,o que ocorre eles são congruentes 
é um paralelogramo. Logo, equivale a 
e 
intersectarem-se ao meio, e sendo 
o ponto médio de , é o mesmo que termos 
.
Usaremos agora um fato(2) conhecido que afirma que a metade do comprimento de 
equivale ao tamanho de 
. Com isso, temos que nossa hipótese acontece 
, além de que por e serem ambos perpendiculares a , eles são paralelos entre si. De posse desses dois resultados, concluímos que a hipótese é válida 
é paralelogramo, e então que 
e 
cortem-se ao meio. Mas já sabemos que é ponto médio de , o que nos permite concluir que isso ocorre se, e somente se, pertence a , como queríamos demonstrar 
REFERÊNCIAS.
Consulte as provas dos fatos (1) e (2) no Lema 2.7 do material a seguir do Professor Rafael Filipe. Aproveito para recomendar o estudo desse material, que aborda muitos fatos importantes: