OBM 2016 - Nível 2 - P2

Problema 2

As bissetrizes internas dos ângulos $A\hat{B}C$ e $A\hat{C}B$ do triângulo $ABC$ se encontram no ponto $I$. A reta paralela a $BI$ que passa pelo ponto $A$ encontra a reta $CI$ no ponto $D$. A reta paralela a $CI$ por $A$ encontra a reta $BI$ no ponto $E$. As retas $BD$ e $CE$ se encontram no ponto $F$. Mostre que $F$, $A$ e $I$ são colineares se, e somente se, $AB = AC$.

Solução por Caio Hermano:

Se $AB = AC$, então o triângulo $ABC$ é isósceles de base $BC$. Por construção, $BE$ e $CD$ são as bissetrizes dos ângulos $A\hat{B}C$ e $A\hat{C}B$, respectivamente. Chame $A\hat{B}C = A\hat{C}B = 2 \theta$. Como $AD // BE$ e $A\hat{B}E = \theta$ então $B\hat{A}D = \theta$ (alternos internos), mas $A\hat{C}B = 2 \theta$ e $CD$ é bissetriz, assim $B\hat{C}D$ também é igual a $\theta$ e o quadrilátero $ADBC$ será inscritível ($B\hat{A}D = B\hat{C}D = 2 \theta$). Da mesma forma, podemos afirmar que $C\hat{A}E = C\hat{B}E = \theta$, já que $AE // CD$ e $BE$ é bissetriz de $A\hat{B}C$, assim o quadrilátero $AECB$ também será inscritível e como três pontos formam uma circunferência única (neste caso, $A,B,C$) temos que $A,B,C,D,E$ são concíclicos.

Por fim, pela última informação $D\hat{B}E = D\hat{C}E$, mas $E\hat{B}C = D\hat{C}B = \theta$ por definição, logo:

$D\hat{B}E = D\hat{C}E \Rightarrow D\hat{B}E + E\hat{B}C = D\hat{C}E + D\hat{C}B \Rightarrow D\hat{B}C = E\hat{C}B \Rightarrow F\hat{B}C = F\hat{C}B$.

Provamos que o triângulo $FBC$ é isósceles de base $BC$, logo $F$ está na mediatriz de $BC$, que também é a bissetriz de $ABC$, já que este triângulo também é isósceles. Logo, $F$,$A$ e $I$ são colineares.

Agora resta mostrar que se $F$, $A$ e $I$ são colineares, então, $AB = AC$.

Observe o triângulo $FIC$, como $IC // AE$, pelo Teorema de Tales:

$\dfrac{FA}{AI} = \dfrac{FE}{EC}$

Agora observe o triângulo $FIB$, como $IB // AD$, novamente pelo Teorema de Tales:

$\dfrac{FA}{AI} = \dfrac{FD}{DB}$

Por fim, chame de $N$ o ponto que $AI$ corta $BC$ e utilize o teorema de Ceva no triângulo $FBC$:

$\dfrac{BN}{NC} \cdot \dfrac{EC}{FE} \cdot \dfrac{FD}{DB} = 1$

Pelos resultados anteriormente encontrados:

$\dfrac{BN}{NC} \cdot \dfrac{AI}{FA} \cdot \dfrac{FA}{AI} = 1 \Rightarrow \dfrac{BN}{NC} = 1 \Rightarrow BN = NC$

O ponto $N$ será ponto médio de $BC$. Para finalizar o problema basta aplicarmos o teorema da Bissetriz Interna relativa ao lado $BC$:

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BN}{NC}$

Mas $\dfrac{BN}{NC} = 1 \Rightarrow AB = AC$.

Como queríamos demonstrar!