Problema 2
As bissetrizes internas dos ângulos 
e 
do triângulo 
se encontram no ponto 
. A reta paralela a 
que passa pelo ponto 
encontra a reta 
no ponto 
. A reta paralela a por encontra a reta no ponto 
. As retas 
e 
se encontram no ponto 
. Mostre que , e são colineares se, e somente se, 
.
Solução por Caio Hermano:
Se , então o triângulo é isósceles de base 
. Por construção, 
e 
são as bissetrizes dos ângulos e , respectivamente. Chame 
. Como 
e 
então 
(alternos internos), mas 
e é bissetriz, assim 
também é igual a 
e o quadrilátero 
será inscritível (
). Da mesma forma, podemos afirmar que 
, já que 
e é bissetriz de , assim o quadrilátero 
também será inscritível e como três pontos formam uma circunferência única (neste caso, 
) temos que 
são concíclicos.
Por fim, pela última informação 
, mas 
por definição, logo:
.
Provamos que o triângulo 
é isósceles de base , logo está na mediatriz de , que também é a bissetriz de , já que este triângulo também é isósceles. Logo, , e são colineares.
Agora resta mostrar que se , e são colineares, então, .
Observe o triângulo 
, como 
, pelo Teorema de Tales:
Agora observe o triângulo 
, como 
, novamente pelo Teorema de Tales:
Por fim, chame de 
o ponto que 
corta e utilize o teorema de Ceva no triângulo :
Pelos resultados anteriormente encontrados:
O ponto será ponto médio de . Para finalizar o problema basta aplicarmos o teorema da Bissetriz Interna relativa ao lado :
Mas 
.
Como queríamos demonstrar!