OBM 2016 - Nível 2 - P3

Problema 3

Os números reais $a$, $b$, $r$ e $s$ são tais que as raízes da equação $x^2-ax+b=0$ são $\dfrac{1}{r}$ e $\dfrac{1}{s}$ e as raízes da equação $x^2-rx+s=0$ são $a$ e $b$. Sabendo que $a>0$, encontre o seu valor.

Solução por Caio Hermano:

Pelas Relações de Girard, obtemos que:

$a=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}$ (1), $b=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{s}$ (2), $r=a+b$ (3), $s=a\cdot b$ (4)

Substituindo (1) e (2) em (3) temos:

$r=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{rs}\Rightarrow$ $r=\dfrac{r+s+1}{rs}\Rightarrow$ $r^2s=r+s+1\Rightarrow$ $r^2s-r-(s+1)=0$

Calculando por Bháskara as raízes vemos que:

$r=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4s(s+1)}}{2s}\Rightarrow$ $r=\dfrac{1\pm\sqrt{(4s^2+4s+1)}}{2s}\Rightarrow$ $r=\dfrac{1\pm\sqrt{(2s+1)^2}}{2s}$

Logo $r=\dfrac{1-2s-1}{2s}=-1$ ou $r=\dfrac{1+2s+1}{2s}=\dfrac{s+1}{s}$

Caso 1: Se $r=-1$, pelo enunciado sabemos que $a>0$, logo de (1):

$a=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}>0$

Como $r=-1$:

$-1+\dfrac{1}{s}>0\Rightarrow$ $\dfrac{1}{s}>1>0$

Portanto $\dfrac{1}{s}>0\Rightarrow$ $s>0$, mas de (4) temos $b=\dfrac{s}{a}$, como $a>0$ e $s>0$, então $b>0$, mas de (3) temos $b=\dfrac{1}{rs}\Rightarrow$ $b=-\dfrac{1}{s}$, logo $b<0$ pois $s>0$, mas $0>b>0$ nos implica um absurdo, logo este caso não possui solução.

Caso 2: Se $r=\dfrac{s+1}{s}$, de (2) temos:

$b=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{s}\Rightarrow$ $b=\dfrac{s}{s+1}\cdot\dfrac{1}{s}\Rightarrow$ $b=\dfrac{1}{s+1}$

Aplicando em (4) temos:

$s=a\cdot b\Rightarrow$ $s=a\cdot \dfrac{1}{s+1}\Rightarrow$ $s(s+1)=a$ (5)

Substituindo $r$ em (1):

$a=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}\Rightarrow$ $a=\dfrac{s}{s+1}+\dfrac{1}{s}\Rightarrow$ $a=\dfrac{s^2+s+1}{s(s+1)}\Rightarrow$ $a=\dfrac{s(s+1)+1}{s(s+1)}$

Mas substituindo por (5) temos:

$a=\dfrac{a+1}{a}\Rightarrow$ $a^2=a+1\Rightarrow$ $a^2-a-1=0$

Esta equação muito conhecida nos dá como raízes:

$a=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

Porém do enunciado $a>0$, logo $a=\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.