OBM 2016 – Nível 2 – P4

Problema 4

Considere um triângulo escaleno $ABC$ com $AB < AC < BC$. A mediatriz do lado $AB$ corta o lado $BC$ no ponto $K$ e o prolongamento de $AC$ no ponto $U$. A mediatriz do lado $AC$ corta o lado $BC$ no ponto $O$ e o prolongamento do lado $AB$ no ponto $G$. Prove que o quadrilátero $GOKU$ é cíclico, ou seja, que seus quatro vértices estão em uma mesma circunferência.

Solução por Caio Hermano:

Chame de $M$ o ponto médio de $AB$ e $N$ o ponto médio de $AC$. Por definição, $MN$ é base média do triângulo $ABC$, assim: $MN \| BC \Rightarrow MN \| OK$. Voltando ao problema, como $MU$ é mediatriz de $AB$, então $A\hat{M}U$ é ângulo reto. Analogamente, como $NG$ é mediatriz de $AC$, então $A\hat{N}G$ é ângulo reto. Por $A\hat{M}U = A\hat{N}G$ o quadrilátero $GNMU$ é inscritível.

Para provarmos que o quadrilátero $GOKU$ é inscritível, basta mostramos que seus ângulos opostos somam $180$, mas isso, de fato, acontece:

$U\hat{G}O + U\hat{K}O = 180 \Rightarrow U\hat{G}O + U\hat{M}N = 180$

Veja que $U\hat{K}O = U\hat{M}N$, já que $MN \| OK$.

Como já tínhamos provado que o quadrilátero $GNMU$ é inscritível, então $U\hat{G}O + U\hat{M}N = 180$ e $GOKU$ também é inscritível.