OBM 2016 - Nível 3 - P1

Problema 1

Seja $ABC$ um triangulo. As retas $r$ e $s$ são as bissetrizes internas de $\angle ABC$ e $\angle BCA$, respectivamente. Os pontos $E$ sobre $r$ e $D$ sobre $s$ são tais que $AD \| BE$ e $AE \| CD$. As retas $BD$ e $CE$ se cortam em $F$. Seja $I$ o incentro do triangulo $ABC$. Mostre que se os pontos $A$, $F$ e $I$ sao colineares então $AB = AC$.

Solução de João Rafael:

Note que no $\triangle FIB$ como $AD \| BI\Rightarrow\frac{FD}{DB}=\frac{FA}{AI}$ e no $\triangle FIC$ como $AE \| CI\Rightarrow\frac{FE}{EC}=\frac{FA}{AI}$:

$\Rightarrow \frac{FE}{EC}=\frac{FD}{DB}\Rightarrow DE\|BC$

Assim temos que $\angle DEB=\angle EBC=\angle EBA$ e como $AD\|BE\Rightarrow\angle EBA=\angle DAB\Rightarrow\angle DEB=\angle DAB$. Temos, então, que o quadrilátero $ADBE$ é cíclico.

De forma análoga $\angle EDC=\angle EAC\Rightarrow\#AECD$ é cíclico. Como o circuncirculo de $\triangle ABC$ é único e os pontos $A, B$ e $C$ são comuns a $\#ADBE$ e $\#AECD$ então $ABCDE$ é cíclico $\Rightarrow\angle DEB=\angle DCB$ e $\angle ADE=\angle ABE$.

Como sabemos $\angle ADE=\angle DEB\Rightarrow\angle ABE=\angle DCB\Rightarrow\angle \frac{ABC}{2}=\angle \frac{ACB}{2}\Rightarrow\angle ABC=\angle ACB$

$\Rightarrow AB=AC$ $_\blacksquare$