Problema 2.
Sabemos que o número real C e números reais não-nulos x,y e z, dois a dois distintos, satisfazem:
x+yz+zy=y+zx+xz=z+xy+yx=C
a) Mostre que C=−1
b) Exiba pelo menos uma solução (x,y,z) para a equação dada.
Solução:
a) Considere apenas a relação x+yz+zy=C, multiplicando ambos os lados pelo número yz obtemos que xyz+y2+z2=Cyz⇒xyz+y2+z2+x2=Cyz+x2, analogamente obtemos que xyz+y2+z2+x2=Cyz+x2=Cxz+y2=Cxy+z2, assim temos Cyz−Cxz+x2−y2=Cz(y−x)+(x−y)(x+y)=(y−x)(Cz−x−y)=0, como x,y,z são distintos dois a dois, temos Cz=x+y⇒(C+1)z=x+y+z=(C+1)x⇒C=−1, pois x≠z e consequentemente x+y+z=0.
b) Usaremos as relações x+y+z=0 e x+yz+zy=C=−1, tomando x=2 nessas equações, obtemos que z=−(2+y) e yz+zy=−3⇒y2+2y−4=0⇒y=−1+√5⇒z=−1−√5, assim a tripla (x,y,z)=(2,−1+√5,−1−√5) é solução.
Observação: Podemos tomar qualquer valor para x, contanto que x,y,z sejam distintos.