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OBM 2017 - Nível 2 - P2

Problema 2.

Sabemos que o número real C e números reais não-nulos x,y e z, dois a dois distintos, satisfazem:

x+yz+zy=y+zx+xz=z+xy+yx=C

a) Mostre que C=1

b) Exiba pelo menos uma solução (x,y,z) para a equação dada.

Solução:

a) Considere apenas a relação x+yz+zy=C, multiplicando ambos os lados pelo número yz obtemos que xyz+y2+z2=Cyzxyz+y2+z2+x2=Cyz+x2, analogamente obtemos que xyz+y2+z2+x2=Cyz+x2=Cxz+y2=Cxy+z2, assim temos CyzCxz+x2y2=Cz(yx)+(xy)(x+y)=(yx)(Czxy)=0, como x,y,z são distintos dois a dois, temos Cz=x+y(C+1)z=x+y+z=(C+1)xC=1, pois xz e consequentemente x+y+z=0.
b) Usaremos as relações x+y+z=0 e x+yz+zy=C=1, tomando x=2 nessas equações, obtemos que z=(2+y) e yz+zy=3y2+2y4=0y=1+5z=15, assim a tripla (x,y,z)=(2,1+5,15) é solução.
Observação: Podemos tomar qualquer valor para x, contanto que x,y,z sejam distintos.