OBM 2017 - Nível 2 - P2

Problema 2.

Sabemos que o número real $C$ e números reais não-nulos $x, y$ e $z$, dois a dois distintos, satisfazem:

$x+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} = y+\frac{z}{x}+\frac{x}{z} = z+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = C$

a) Mostre que $C = -1$

b) Exiba pelo menos uma solução $(x, y, z)$ para a equação dada.

Solução:

a) Considere apenas a relação $x+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} = C$, multiplicando ambos os lados pelo número $yz$ obtemos que $xyz+y^2+z^2 = Cyz \Rightarrow xyz+y^2+z^2+x^2=Cyz+x^2$, analogamente obtemos que $xyz+y^2+z^2+x^2=Cyz+x^2=Cxz+y^2=Cxy+z^2$, assim temos $Cyz-Cxz+x^2-y^2=Cz(y-x)+(x-y)(x+y)=(y-x)(Cz-x-y)=0$, como $x,y,z$ são distintos dois a dois, temos $Cz=x+y \Rightarrow (C+1)z=x+y+z=(C+1)x \Rightarrow C=-1$, pois $x\neq z$ e consequentemente $x+y+z=0$.
b) Usaremos as relações $x+y+z=0$ e $x+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}=C=-1$, tomando $x=2$ nessas equações, obtemos que $z=-(2+y)$ e $\frac{y}{z}+\frac{z}{y}=-3 \Rightarrow y^2+2y-4=0 \Rightarrow y=-1+\sqrt{5} \Rightarrow z=-1-\sqrt{5}$, assim a tripla $(x,y,z)=(2,-1+\sqrt{5},-1-\sqrt{5})$ é solução.
Observação: Podemos tomar qualquer valor para $x$, contanto que $x,y,z$ sejam distintos.