OBM 2017 - Nível 2 - P4

Problema 4.

Na Terra dos Impas, somente os algarismos ímpares são utilizados para contar e escrever números. Assim, em vez dos números $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \dots$  os Impas tem os números correspondentes $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, \dots$ (note que os números dos Impas tem somente algarismos ímpares). Por exemplo, se uma criança tem $11$ anos, os Impas diriam que ela tem $31$ anos.
a) Como os Impas escrevem o nosso número $20$?
b) Numa escola desse lugar, a professora escreveu no quadro-negro a continha de multiplicar abaixo. Se você
fosse um aluno Impa, o que escreveria como resultado?
$13\times 5=?$

c) Escreva, na linguagem dos Impas, o número que na nossa representação decimal é escrito como $2017$.

Solução:

Considere em toda a resolução que um número é dito Impa, se todos os seus dígitos são números impares.

a) Fazendo a lista dos $20$ primeiros números Impas, obtemos a seguinte lista: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 37, 39, 51, 53, 55, 57, 59$. Ou seja, o 20º número Impa é o $59$.

b) Esse item, da forma que foi escrito na prova, possui mais de uma interpretação(nesse caso se um aluno estivesse fazendo a prova, a equipe NOIC recomenda que o aluno exiba ambas interpretações para não correr o risco de perder pontos), além disso, o enunciado não define de forma clara como seria uma adição/multiplicação entre dois números Impas:
Interpretação 1: Note que, na representação decimal, $13\times 5=65$, portanto assumiremos que o enunciado quer que encontremos o 65º número Impa. Faremos algumas estimativas, note que como existem $5$ números ímpares, pelo principio multiplicativo, há $(5+5\times 5)$ números Impa (com menos de $3$ dígitos), ou seja, $30$ números. Entre $100-200$, há $5\times 5=25$ números Impa, até agora temos $30+25=55$ números Impa,  fazendo a lista dos próximos $10$ Impas, temos que: $311, 313, 315, 317, 319, 331, 333, 335, 337, 339$. Assim a resposta seria $339$.

Interpretação 2: Note que o número Impa "$13$", na representação decimal, seria o "$7$", e o número Impa "$5$", na representação decimal, seria o "$3$". Então também pode-se interpretar que o enunciado quer que encontremos o $7\times 3=21$º número Impa, que pelo item anterior seria o $71$.

c) Faremos estimativas para encontrar o 2017º número Impa. Calcularemos quantos números Impas tem menos de $5$ algarismos, note que como existem $5$ números ímpares, pelo principio multiplicativo, temos $5+(5\times 5)+(5\times 5\times 5)+(5\times 5\times 5\times 5)=5+25+125+625=780$. Entre $10000-20000$ existem $5\times 5\times 5\times 5=625$ números Impas. Entre $30000-37999$ existem $4\times 5\times 5\times 5= 500$ números Impas, até agora temos $780+625+500=1905$ números Impas. Entre $39000-39799$ existem $4\times 5\times 5=100$ números Impas, ou seja, no total $1905+100=2005$ números Impas. Por fim basta terminarmos a lista com os números: $39911, 39913, 39915, 39917, 39919, 39931, 39933, 39935, 39937, 39939, 39951, 39953$. Assim a resposta é $39953$.

Respostas:

a) 59

c) 39953