OBM 2017 - Nível 3 - P5

Problema 5

No triângulo $ABC$, seja $r_A$ a reta que passa pelo ponto médio de $BC$ e é perpendicular à bissetriz interna de $\measuredangle BAC$. Defina $r_B$ e $r_C$ da mesma forma. Sejam $H$ e $I$ o ortocentro e o incentro de $ABC$, respectivamente. Suponha que as três retas $r_A, r_B, r_C$ definam um triângulo. Prove que o circuncentro desse triângulo é o ponto médio de $HI$.

Solução de Caio Hermano:

Considere $X=r_B\cap r_C, Y=r_C\cap r_A, Z=r_A\cap r_B$ os vértices do triângulo formado pelas 3 retas $r_A,r_B,r_C$, $O$ o circuncentro do $\Delta XYZ$ e $D,E,F$ os pontos médios dos arcos $BC, CA,AB$ que não contém os vértices $A,B,C$, respectivamente. Queremos provar que $O$ é o ponto médio do segmento $HI$.

Esse problema possui um enunciado que lembra muitas outras questões de geometria que são resolvidas a partir de uma poderosa técnica conhecida por homotetia.  Agora nos resta decidir: Quem é o centro da homotetia que devemos usar?

Vejamos os lados de $\Delta XYZ$ são perpendiculares as bissetrizes internas do $\Delta ABC$, outros triângulos com essa propriedade são os triângulos formados pelos pontos médios dos arcos, pontos de contato do incírculo e os ex-incentros relativos aos três vértices do triângulo. Contudo, o que mais se relaciona com os pontos médios dos lados é o $\Delta DEF$. Além disso, queremos provar que $HI=2HO$, então tomar $H$ como centro parece uma boa opção.

Tome $A'$ a imagem de $H$ a partir de uma reflexão pelo ponto $M$, veja que: $\angle BA'C = \angle BHC = 180 -\angle BAC$ e $\angle ACA'=\angle ACB +\angle BCA'=\angle ACB+\angle CBH = 90$. Assim, $A' \in (ABC)$ e $AA'$ é um diâmetro da circunferência.
Temos que: $r_A\perp AD,A'D\perp AD \Rightarrow r_A \| A'D$ e $HA'=2HM$.

Considere a homotetia $\phi$ de centro $H$ e razão $2$. Obtemos, então, que: $\phi (M)=A' \Rightarrow \phi (r_A)=A'D$ pois homotetias levam retas em outras retas paralelas às primeiras. Analogamente, $\phi (r_b)=B'E,\phi (r_C)=C'F$, em que $B'$ e $C'$ são definidos de forma análoga ao ponto $A'$.

Daí, o triângulo $\Delta XYZ$ cujos lados têm como retas suporte $r_A,r_B,r_C$ é levado no triângulo cujos lados têm como retas suporte $A'D,B'E,C'F$, digamos $\Delta X'Y'Z'$.

Observe ainda que: $DE\| X'Y', DF\| X'Z' \Rightarrow X'EDF$ é um paralelogramo $\Rightarrow X'D$ passa pelo ponto médio de $EF$. Mas, $EF\| Y'Z' \Rightarrow X'D$ também passa pelo ponto médio de $Y'Z' \Rightarrow D$ é o ponto médio de $Y'Z'$. Analogamente, $E$ e $F$ são os pontos médios de $X'Z'$ e $X'Z'$, respectivamente. Entretanto, $ID\perp Y'Z',IE\perp X'Z',IF\perp X'Y' \Rightarrow I$ é o encontro das mediatrizes dos lados de $\Delta X'Y'Z'$.

Logo, $I$ é o circuncentro do triângulo $\Delta X'Y'Z'$ e como $\phi (XYZ) =X'Y'Z'$, o circuncentro de $\Delta XYZ$ será levado em $I$, o que implica que $\phi (O) = I \Rightarrow \frac{HI}{HO}=2 \Rightarrow$ $O$ é o ponto médio de $HI$.

Portanto, o circuncentro do triângulo formado pelas retas $r_A,r_B,r_C$ é o ponto médio do segmento $HI$.