Problema 5
No triângulo , seja
a reta que passa pelo ponto médio de
e é perpendicular à bissetriz interna de
. Defina
e
da mesma forma. Sejam
e
o ortocentro e o incentro de
, respectivamente. Suponha que as três retas
definam um triângulo. Prove que o circuncentro desse triângulo é o ponto médio de
.
Solução de Caio Hermano:
Considere os vértices do triângulo formado pelas 3 retas
,
o circuncentro do
e
os pontos médios dos arcos
que não contém os vértices
, respectivamente. Queremos provar que
é o ponto médio do segmento
.
Esse problema possui um enunciado que lembra muitas outras questões de geometria que são resolvidas a partir de uma poderosa técnica conhecida por homotetia. Agora nos resta decidir: Quem é o centro da homotetia que devemos usar?
Vejamos os lados de são perpendiculares as bissetrizes internas do
, outros triângulos com essa propriedade são os triângulos formados pelos pontos médios dos arcos, pontos de contato do incírculo e os ex-incentros relativos aos três vértices do triângulo. Contudo, o que mais se relaciona com os pontos médios dos lados é o
. Além disso, queremos provar que
, então tomar
como centro parece uma boa opção.
Tome a imagem de
a partir de uma reflexão pelo ponto
, veja que:
e
. Assim,
e
é um diâmetro da circunferência.
Temos que: e
.
Considere a homotetia de centro
e razão
. Obtemos, então, que:
pois homotetias levam retas em outras retas paralelas às primeiras. Analogamente,
, em que
e
são definidos de forma análoga ao ponto
.
Daí, o triângulo cujos lados têm como retas suporte
é levado no triângulo cujos lados têm como retas suporte
, digamos
.
Observe ainda que: é um paralelogramo
passa pelo ponto médio de
. Mas,
também passa pelo ponto médio de
é o ponto médio de
. Analogamente,
e
são os pontos médios de
e
, respectivamente. Entretanto,
é o encontro das mediatrizes dos lados de
.
Logo, é o circuncentro do triângulo
e como
, o circuncentro de
será levado em
, o que implica que
é o ponto médio de
.
Portanto, o circuncentro do triângulo formado pelas retas é o ponto médio do segmento
.