PROBLEMA 1 OBM N2 2017

PROBLEMA 1

Os pontos $X, Y ,Z$ estão marcados nos lados $AB, BC,AC$ do triângulo $ABC$, respectivamente. Os pontos $A'$, $B'$ e $C'$ estão nos lados $XZ, XY,YZ$ do triângulo $XYZ$, respectivamente, de modo que:

$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}=2$

E $ABB'A'$, $BCC'B'$ e $ACC'A'$ são trapézios em que os lados do triângulo $ABC$ são bases.

a) Determine a razão entre a área do trapézio $ABB'A'$ e a área do triângulo $A'B'X$.

b) Determine a razão entre a área do triângulo $XYZ$ e a área do triângulo $ABC$.

Solução:

Para ambos os itens, considere $[X]$ a área do polígono $X$.

a) Seja $h$ a altura do trapézio $ABB'A'$, note que $\triangle A'B'X$ e o trapézio $ABB'A'$ possuem a mesma altura; assim temos que $[ABB'A']=\frac{(AB+A'B')\cdot h}{2}$, e $[A'B'X]=\frac{A'B'\cdot h}{2}$, e como $AB=2\cdot A'B'$, temos que a razão das áreas será igual a  $3$.

b) Aplicando o raciocínio do item anterior, temos que $\frac{[ABB'A']}{[A'B'X]}=\frac{[BB'C'C]}{[B'C'Y]}=\frac{[CC'A'A]}{[C'A'Z]}=3$, ademais observe que os triângulos $A'B'C'$ e $ABC$ são semelhantes/homotéticos, pois os respectivos lados são paralelos. Assim a razão entre suas áreas será igual a $\frac{[ABC]}{[A'B'C']}=(\frac{AB}{A'B'})^2=4$, sendo $x=[A'B'X], y=[B'C'Y], z=[C'A'Z], w=[A'B'C']$, temos que $[ABC]=3x+3y+3z+w=4w\Rightarrow x+y+z=w\Rightarrow \frac{[ABC]}{[XYZ]}=\frac{4w}{2w}=2$.

 

Respostas:

a) $\frac{[ABB'A']}{[A'B'X]}=3$.

b) $\frac{[ABC]}{[XYZ]}=2$.