OBM 2018 - Nível 2 - P3

PROBLEMA 3

Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e ortocentro H. A circunferência de centro X_A passa pelos pontos A e H e tangencia o circuncírculo do triângulo ABC. Defina de maneira análoga os pontos X_B e X_C. Sejam O_A, O_B e O_C os simétricos de O em relação aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Prove que as retas O_AX_A, O_BX_B e O_CX_C são concorrentes.

SOLUÇÃO.


Defina D=AO\cap AB, E=BO\cap CA, F=CO\cap AB e R=AO=BO=CO. É conhecido que, OM=\frac{AH}{2}, no qual M é o ponto médio de CB, assim temos que OO_A=AH(pela reflexão), e como AH\perp BC e OO_A\perp BC(reflexão), temos AH \| OO_A, logo temos que o quadrilátero AOO_AH é um paralelogramo e portanto HO_A=AO=R, analogamente obtemos HO_B=HO_C=R.

Note que O_A é circuncentro do triângulo BHC, pois O_AB=OA=OC=O_AC e \angle BO_AC=\angle BOC=2\angle BAC=2(180- \angle BHC), analogamente temos que O_B e O_C são circuncentros de AHC e HAB respectivamente. Agora, observe que O_BH=O_BA=OA=R=O_CA=O_CH, assim obtemos que O_BO_C é mediatriz de AH e consequentemente O_B, O_C, X_A são colineares. Analogamente, conseguimos que X_B, O_C, O_A e X_C, O_B, O_A são colineares.

Por Homotetia temos que A, X_A, O são colineares e portanto A, X_A, O, D são colineares; analogamente B, X_B, O, E e C, X_C, O, F são colineares. Como dito anteriormente, OA=OC=O_BC=O_BA=O_CA=O_CB=R, logo os quadriláteros OAO_BC e OAO_CB são losangos e assim temos que O_BC=O_CB e O_BC\|AO\|O_CB, logo o quadrilátero BO_CO_BC é um paralelogramo, e consequentemente os quadriláteros DX_AO_BC e DBO_CX_A são paralelogramos \Rightarrow O_BX_A=DC; BD=O_CX_A e analogamente, O_BX_C=FA; O_AX_C=FB; O_AX_B=CE; O_CX_B=EA (I)

Por Ceva no triângulo ABC, temos \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1, substituindo em (I), temos \frac{O_CX_A}{O_BX_A}\cdot \frac{O_AX_B}{O_CX_B}\cdot \frac{O_BX_C}{O_AX_C}=1 e pela Recíproca do Teorema de Ceva no triângulo O_AO_BO_C, temos que as retas O_AX_A, O_BX_B, O_CX_C são concorrentes.