OBM 2018 - Nível 2 - P4

Problema 4

a)Num triângulo $XYZ$, o incírculo tangencia os lados $XY$ e $XZ$ nos pontos $T$ e $W$, respectivamente. Prove que
$XY=XW=\frac{XY + XZ - YZ}{2}$

Seja $ABC$ um triângulo e $D$ o pé da altura relativa ao lado $A$. Sejam $I$ e $J$ os incentros dos triângulos $ABD$ e $ACD$, respectivamente. Os incírculos de $ABD$ e $ACD$ tangenciam $AD$ nos pontos $M$ e $N$, respectivamente. Seja $P$ o ponto de tangencia do incírculo inscrito de $ABC$ com o lado $AB$. O círculo de centro $A$ e raio $AP$ intersecta a altura $AD$ em $K$.

b) Mostre que os triângulos $IMK$ e $KNJ$ sao congruentes.

c) Mostre que o quadrilátero $IDJK$ é inscritível

Solução de João Linhares:

a)

Fazendo potência de ponto em $X$ temos que $XT=XW$ analogamente $YT=YU$ e $ZW=ZU$.
Portanto:

$2P_{XYZ}=XT+XW+YT+YU+ZW+ZU \iff XT+YU+YZ=P_{XYZ}=\frac{XY+XZ+YZ}{2}\iff XT=XW=\frac{XY+XZ-YZ}{2}$

b) 

Sabemos que $NJRD$ é um quadrado pois ele possui todos os ângulos iguais a 90 e $ND=DR$, logo $NJ=ND$ e analogamente $MI=MD$ porém pela fórmula do item anterior temos:

$MI=MD=\frac{AD+BD-AB}{2}$
$NJ=ND=\frac{AD+CD-AC}{2}$
$AK=AP=\frac{AB+AC-BC}{2}$

Somando todos, temos que:

$MI+NJ+AK=AD$

Logo: $MI=NK$ e $NJ=MK$
E $\triangle IMK \equiv \triangle KNJ$ pelo caso lado-ângulo-lado

c) $\triangle IMK \equiv \triangle KNJ\iff \angle IKM=\angle KJN=90-\angle NKJ\iff \angle IKJ=90$
Mas $DI$ é bissetriz de $\angle BDA$, logo $\angle IDK=45$ e analogamente $\angle JDK=45$, portanto $\angle IDJ=90$
Porém:

$\angle IDJ+\angle IKJ=180\iff DIKJ$ é cíclico