OBM 2018 - Nível 2 - P6

PROBLEMA 6.

Para todo inteiro positivo n definimos $s(n)$ como a soma dos dígitos de $n$. Determine todos os pares $(a, b)$ de inteiros positivos para os quais a expressão abaixo assume um numero finito de valores ao variar $n$ nos inteiros positivos:

$s(an + b)-s(n)$

SOLUÇÃO.

Observe que o número:  $L=aa...aa00...0$ obtido justapondo vários $a$ e vários zeros no fim é múltiplo de $a$. Em especial, se são $m$ letras $a$, $j$ zeros e $a$ possui $k$ algarismos então:

$\frac{L}{a} = (10^{(m-1)k} + 10^{(m-2)k} + ... + 10^{k}+ 1)10^j$.

Sendo $d$ a quantidade de dígitos de $b$, tomando-se $j>d$:

$an+b = aa..aa00...0b$ com m letras $a$ e alguns zeros.

$s(an + b) = m s(a) + s(b)$ e $s(n) = m$ pois $n$ é soma de $m$ potências de $10$ vezes uma potência de $10$. Então $s(an+b) - s(n) = (s(a)-1)m + s(b)$ que explode facilmente quando $s(a)>1$ e $m$ varia nos inteiros.

Logo, basta analisar quando $s(a) =1$ isto é $a = 10^t$.

Bem, se $b<a$ então é claro que $an+b = n00...0b$ já que a é potência de $10$. Então sua soma dos algarismos é $s(n) + s(b)$ e assim, a diferença com $s(n)$ é sempre $s(b)$.Enão esses pares satisfazem o enunciado. Para fechar, mostremos que quando $b \ge 10^t=a$, então o par não cumpre o enunciado.

Sejam os $d$ dígitos de $b$ os seguintes: $b_db_{d-1}...b_2b_1$ onde, por hipótese, $d$ é maior que $t$. Considere o número $n = 99...9(9-b_d)(9-b_{d-1})...(9-b_{t+2})(10-b_{t+1})$ onde há m noves. Agora, $s(an+b) = 1 + b_t +...+b_1$. Agora, é fácil se convencer de que $s(an+b) - s(n)$ vai pra menos infinito quando m varia nos inteiros positivos e assim, acabamos.

Resposta: todos pares $(10^t,b)$ onde $b<10^t$.