Problema 1
Dizemos que um polígono está inscrito em outro polígono
quando todos os vértices de
pertencem ao perímetro de
. Também dizemos nesse caso que
é circunscrito a
. Dado um triângulo
, sejam
o máximo valor do lado de um quadrado inscrito em
e
o mínimo valor do lado de um quadrado circunscrito a
. Prove que, para todo triangulo
, vale a desigualdade
e encontre todos os triangulos
para os quais a igualdade ocorre.
Solução de Matheus Bezerra:
Para simplificar a notação, consideraremos como a medida do lado de qualquer quadrado inscrito em
e
como a medida do lado de qualquer quadrado circunscrito a
, e calcularemos seus possíveis valores de máximo e mínimo, respectivamente.
Afirmação: O valor máximo possível de
é
.
Demonstração: Perceba que, ao inscrevermos um quadrado no triângulo
, um dos lados de
deve estar completamente sobre um de
, visto que temos
vértices de
para distribuir entre
lados de
, o que obriga, por PCP, que dois dos vértices estejam em um mesmo lado. Suponha, sem perda de generalidade, que o lado
de
esteja sobre o lado
de
, como na figura acima.
Suponhamos que as medidas dos lados ,
e
de
, sejam
,
e
, respectivamente. Além disso, considere
, onde
é a altura de
referente à
e que
seja a medida da área de
.
Observe agora que (por
). Logo, temos:
Assim, por :
Com isso, concluímos que o valor máximo de é
Afirmação: O valor mínimo possível de
é
.
Demonstração: Perceba que o triângulo pode ter uma de suas bases sobre um dos lados do quadrado circunscrito
, ou não, respectivamente figuras
e
.
No primeiro caso, observe que, como uma das bases do triângulo (sem perda de generalidade, a base ) está contida em um dos lados de
, temos que
e o mesmo ocorre para a altura
de
referente à
. Temos então que a área
de
é tal que
Logo, segue que (OK!).
Agora, no segundo caso, como cada ponto estará em um lado distinto de , haverá exatamente três lados consecutivos contendo um vértice de
. Considere então que
seja o vértice no lado "central" em relação aos outros dois, e trace uma perpendicular ao lado do quadrado por
que tocará o lado oposto de
em
e o segmento
do triângulo em
, como na figura
. Assim, pelo mesmo argumento utilizado no caso anterior, a área
do triângulo
será no máximo igual à metade da área
do retângulo
e a área
do triângulo
será menor ou igual à metade da área
do retângulo
. Com isso, também chegamos que
e novamente temos que
, e segue como anteriormente, permitindo-nos concluir que em ambos os casos,
, como queríamos demonstrar
Resta-nos apenas encontrar os casos em que a igualdade ocorre. Observe que para que
tenha exatamente seu menor valor possível, deve haver igualdade na desigualdade das médias utilizada e, portanto, uma das bases do triângulo deve ter mesma medida que sua altura correspondente. Além disso, para que
assuma seu menor valor, é necessário que uma das bases do triângulo coincida com um lado do quadrado circunscrito e que a altura correspondente a ela também meça o mesmo comprimento que o lado do quadrado, para que a área do triângulo seja exatamente metade da área deste. Assim, os triângulos
para os quais a igualdade ocorre são aqueles no qual um de seus lados (de medida
, por exemplo) mede o mesmo que sua altura, sendo este o menor lado do triângulo, tendo
e