OBM 2019 - Nível 2 - P2

PROBLEMA 2

Sejam $a,b$ e $k$ inteiros positivos com $k >1$ tais que

$\text{mmc}(a,b) + \text{mdc}(a,b) = k(a+b)$

Prove que $a+b$ $\geq$ $4k$.

SOLUÇÃO.

Seja mdc$(a,b) = d, a = d.a_0$ e $b = d.b_0$ com mdc$(a_0, b_0) = 1.$

Veja que mmc$(a,b)$ $= d.a_0b_0$. Dessa forma temos (a equação original reescrita como): $da_0b_0 + d = kd(a_0 + b_0)$

Dado que o mdc de $2$ números nunca é $0$, temos:

$a_0b_0 + 1 = k(a_0 +b_0)$

Queremos provar que $d(a_0+b_0)$ $\geq$ $4k$. Basta que:

$a_0 + b_0$ $\geq$ $4k$  $\iff$
$\iff a_0 + b_0$  $\geq$ $\frac{4(a_0b_0+1)}{a_0+b_0}$ $\iff$
$\iff (a_0 +b_0)^2$ $\geq$ $4a_0b_0 +4$ $\iff$
$\iff |a_0 -b_0|$ $\geq 2.$

Logo, se $|a_0-b_0|$ $\geq$ $2$, a desigualdade do problema está resolvida. Sendo assim, temos que analisar os seguintes casos:

Se $a_0 = b_0$, e como mdc$(a_0,b_0)=1$, se ambos são iguais eles devem ser iguais a $1$; o que nos leva a uma contradição pois nesse caso $k =1$.

No segundo caso, temos $b_0 = a_0 +1$, e temos $a_0(a_0 +1) = k(a_0 + a_0 +1)$ $\Longleftrightarrow$ $a_0^2 + a_0 + 1 = k(2a_0 +1)$ e logo concluímos que $2a_0 +1 | a_0^2 +a_0 +1$. $(*)$

Como $2a_0+1| (2a_0+1)^2 ,$ temos que $2a_0 +1 | 4a_0^2 + 4a_0 + 1$. Porém, de $(*)$, se multiplicarmos a divisibilidade por $4$,chegamos que $2a_0 +1 | 4a_0^2 + 4a_0 + 4$, e logo que $2a_0 +1 | 3,$ o que implica $a_0 =1,$ e $b_0 =2$, e temos $k=1$, contradição novamente. (Note que o caso $b_0 =a_0+1$ é análogo.)

Dessa forma, os únicos casos que não nos dão $|a_0 -b_0|$ $\geq$ $2$ contradizem o enunciado; e como provado acima, essa condição do módulo prova a desigualdade do enunciado, encerrando a prova. $\blacksquare$