OBM 2019 – Nível 3 – P1

Problema 1

Sejam $\omega_1$ e $\omega_2$ duas circunferências de centros $C_1$ e $C_2$, respectivamente, que se cortam em dois pontos $P$ e $Q$. Suponha que a circunferência circunscrita ao triângulo $PC_1C_2$ intersecte $\omega_1$ novamente em $A\neq P$ e $\omega_2$ em $B\neq P$. Suponha ainda que $Q$ está no interior do triângulo $PAB$. Demonstre que $Q$ é o incentro do triângulo $PAB$.

Solução de Jonatan de Lima:

Seja $I$ o incentro de $\triangle{PC_1C_2}$. Vamos demonstrar certas propriedades a respeito de $I$ e concluir que este é igual a $Q$. Começaremos com um lema:

Lema: Seja $ABC$ um triângulo com incentro $I$. Se $D=AI\cap (ABC)$, com $D\neq A$. Então $DI=DB=DC$.

Note que, sendo $\angle{BAC}=2\alpha$, $\angle{ABC}=2\beta$ e $\angle{ACB}=2\gamma$, por arco inscrito segue $\angle{DBC}=\angle{DAC}=\alpha=\angle{DAB}=\angle{DCB}\Rightarrow DB=DC$. Além disso, por ângulo externo, $\angle{BID}=\alpha+\beta=\angle{IBD}\Rightarrow DI=DB$, concluindo que $DI=DB=DC$.

Voltando ao problema:

 

Temos que $C_1$ é ponto médio de $\stackrel{\frown}{AP}$ de $\omega_1$, logo, pelo lema $C_1I=C_1A=C_1P\Rightarrow I\in \omega_1$. Analogamente, $C_2I=C_2B=C_2P\Rightarrow I\in \omega_2$ e portanto $I=\omega_1\cap \omega_2 \Rightarrow I=Q$, como queríamos.