OBM 2020 - Nível 2 - P1

Problema 1

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo, e $D$ um ponto sobre $BC$ tal que $AD$ é perpendicular a $BC$. A bissetriz do ângulo $\angle DAC$ intesecta o segmento $DC$ em $E$. Seja $F$ o ponto sobre a reta $AE$ tal que $BF$ é perpendicular a $AE$. Se $\angle BAE = 45^{o}$, calcule a medida do ângulo $\angle BFC$.

Teremos a seguinte figura: (Para esclarecimentos, $\angle A = \angle BAC$; $\angle B = \angle ABC$; $\angle C = \angle ACB$)

Note que $\angle B = 90 - \angle BAD = 90 - (\angle BAE - \angle DAE)$.

Como $AE$ bissecta $\angle DAC = 90 - \angle C \implies \angle DAE = 45 - \frac{\angle C}{2}$, teremos que $\angle B = 90 - \left( 45 - \left( 45 - \frac{\angle C}{2} \right) \right) = 90 - \frac{\angle C}{2}$.

Dessa forma, $\angle A = 180 - \angle B - \angle C = 180 - \angle C - \angle \left( 90 - \frac{\angle C}{2} \right) = 90 - \frac{\angle C}{2}$. Assim, $\angle A = \angle B$.

Assim, note que o triângulo $ABC$ é simétrico pela bissetriz do ângulo $\angle C$. Como os segmentos de reta $AF$ e $BF$ formam ambos $45^{o}$ com $AB$, a intersecção dos dois ($F$) estará no eixo de simetria. Assim, é fácil ver que (por simetria) $\angle BFC = \angle AFC = \theta$. Como $\angle BFA = 90$, teremos que $2\cdot \theta + 90 = 360$ $\implies \theta = 135$.