Problema 5.
Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Seja M o ponto médio de AB e K≠C o segundo ponto de interseção dos circuncírculos dos triângulos ABC e CMO. As retas CK e OM encontram-se em P. Prove que ∠KAP=∠MCB.
Solução de João Ferreira.
Seja ω o circuncírculo de ABC.
Sejam P′ a interseção das tangentes por A e B a ω e K=P′C∩ω.
Provaremos por ponto fantasma, isto é, que K′MOC é cíclico, resultando em K≡K′ e consequentemente P≡P′.
PotωP=P′K′⋅P′C=P′B2.
Pelas relações métricas em △P′BO, P′M⋅P′O=P′B2.
Portanto P′K′⋅P′C=P′M⋅P′O⟺K′MOC é cíclico ⟺P≡P′.
Agora, pela definição, PC é simediana de △ABC⟺∠PAK=∠ACK=ACP=MCB
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