OBM 2020 – Nível 2 – P5

Problema 5.

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo de circuncentro $O$. Seja $M$ o ponto médio de $AB$ e $K\neq C$ o segundo ponto de interseção dos circuncírculos dos triângulos $ABC$ e $CMO$. As retas $CK$ e $OM$ encontram-se em $P$. Prove que $\angle KAP = \angle MCB$.

Solução de João Ferreira.

Seja $\omega$ o circuncírculo de $ABC$.
Sejam $P'$ a interseção das tangentes por $A$ e $B$ a $\omega$ e $K = P'C\cap \omega$.
Provaremos por ponto fantasma, isto é, que $K'MOC$ é cíclico, resultando em $K\equiv K'$ e consequentemente $P\equiv P'$.

$Pot_{\omega} P = P'K'\cdot P'C = P'B^2$.

Pelas relações métricas em $\triangle P'BO$, $P'M\cdot P'O = P'B^2$.
Portanto $P'K'\cdot P'C = P'M\cdot P'O \iff K'MOC$ é cíclico $\iff P\equiv P'$.

Agora, pela definição, $PC$ é simediana de $\triangle ABC \iff \angle PAK = \angle ACK = ACP = MCB \blacksquare$.