OBM 2020 - Nível 3 - P1

Problema 1

Prove que existem inteiros $a_1, a_2, \dots, a_{2020}$ tais que

$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{2\cdot a_2} + \dots + \frac{1}{2020 \cdot a_{2020}} = 1$.

Solução por Luca Zanardi:

Nesta solução, será provado que, para todo $n \in \mathbb{Z_{+}^{*}}$, existem inteiros positivos $a_1, a_2, \dots, a_{n}$ tais que $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{2\cdot a_2} + \dots + \frac{1}{n \cdot a_{n}} = 1$. A questão será um resultado direto do caso $n = 2020$.

Primeiramente, note que a subtração $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - n}{n\cdot (n+1)} = \frac{1}{n\cdot (n+1)}$. Assim, podemos ver que $1 = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n}$ (Todos os termos se cancelam). Porém, perceba que isso pode ser reescrito como $\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \dots + \frac{1}{(n-1)\cdot n} + \frac{1}{n}$. Assim, basta tomar $a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, \dots, a_{n-1} = n$ e $a_n = 1$, e obteremos o resultado desejado.

No caso particular da questão, basta tomar $a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, \dots, a_{2019} = 2020$ e $a_{2020} = 1$.

Obs. O método de resolução dessa questão pode parecer arbitrário e "tirado do bolso", porém acaba vindo naturalmente após testar alguns casos iniciais, e ter prática em problemas parecidos (por exemplo, conhecer a fatoração $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n\cdot (n+1)}$.