OBM 2020 - Nível 3 - P4

Problema 4

Seja $ABC$ um triângulo. Os círculos ex-inscritos (que tangenciam um lado e os prolongamentos de outros dois lados) tocam os lados $BC, CA$ e $AB$ nos pontos $U, V$ e $W$, respectivamente. Sejam $r_u$ a reta que passa por $U$ e é perpendicular a $BC$, $r_v$ a reta que passa por $V$ e é perpendicular a $CA$ e $r_w$ a reta que passa por $W$ e é perpendicular a $AB$. Prove que as retas $r_u, r_v$ e $r_w$ passam por um mesmo ponto.

Solução por Caio Hermano:

Sejam $\angle BAC=2\alpha, \angle ABC=2\beta, \angle BCA=2\gamma$ e $I_A, I_B, I_C$ os ex-incentros relativos aos vértices $A,B,C$ do triângulo $ABC$, respectivamente. Note que, como $U$ é o ponto de tangência do $A$-exincírculo ao lado $BC$, $UI_A\perp BC \Rightarrow r_u=UI_A$ e, analogamente, $r_v=VI_B$ e $r_w=WI_C$. Perceba, ainda, que $2\alpha+2\beta+2\gamma=180\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=90$ e $I_B, A,I_C$, assim como $I_A,B_I,C$ e $I_A,C,I_B$, são colineares, pois são as bissetrizes externas do $\triangle ABC$.

Observe que $\angle CBI_A=\frac{180-2\beta}{2}=90-\beta$ e, como $\angle I_AUB=90$, então $\angle UI_AB=90-(90-\beta)=\beta$ $\Rightarrow\angle UI_AI_C =\beta$. Ademais, $\angle UI_AC=90-\angle BCI_A=90-(90-\gamma)$ $\Rightarrow \angle UI_AI_B=\gamma$. Da mesma forma, $\angle VI_BI_A=90-(90-\gamma)=\gamma,$ $\angle VI_BI_C=90-(90-\alpha)=\alpha,$ $\angle WI_CI_B=90-(90-\alpha)=\alpha$ e $\angle WI_CI_A=90-(90-\beta)=\beta$. A partir daqui, apresentamos duas maneiras de concluir o problema:

Solução 1 (Circuncentro)

Considere o circuncentro $O$ do triângulo $I_AI_BI_C$. Sabemos que $\angle I_AOI_B=2\angle I_AI_CI_B=2(\alpha+\beta)=2(90-\gamma)=180-2\gamma$, mas o $\triangle OI_AI_B$ é um triângulo isósceles, pois $OI_A=OI_B=OI_C$ $\Rightarrow \angle OI_AI_B=\frac{180-\angle I_AOI_B}{2}=\frac{180-2(180-\gamma)}{2}=\frac{2\gamma}{2}\Rightarrow \angle OI_AI_B=\gamma =\angle UI_AI_B$ $\Rightarrow O, U, I_A$ são colineares. Logo, $O\in r_u$.

Analogamente, também concluímos que $O\in r_v$ e $O\in r_w$, provando, assim, que $r_u, r_v$ e $r_w$ são concorrentes num único ponto. $_{\blacksquare}$

Solução 2 (Ceva Trigonométrico)

Temos que:

$\dfrac{\sin I_CI_AU}{\sin UI_AI_B} \cdot \dfrac{\sin I_AI_BV}{\sin VI_BI_C}\cdot \dfrac{\sin I_BI_CW}{\sin WI_CI_A}= \dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma} \cdot \dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=1$

Portanto, pelo Teorema de Ceva Trigonométrico, as cevianas $I_AU, I_BV, I_C$ do triângulo $I_AI_BI_C$ são concorrentes e, assim, $r_u,r_v$ e $r_w$ passam por um mesmo ponto. $_{\blacksquare}$