OBM 2021 – Nível 2 – P6

Problema 6. Seja $\alpha \geq 1$ um número real. Considere o conjunto

$$A(\alpha) = \{ \lfloor n\alpha\rfloor \mid n \in\mathbb{N} \}=\{ \lfloor\alpha\rfloor, \lfloor 2\alpha\rfloor, \lfloor 3\alpha\rfloor, \lfloor 4\alpha\rfloor,\ \dots \}$$

.

Suponha que todos os inteiros que não pertencem ao conjunto $A(\alpha)$ são exatamente os inteiros positivos que deixam um determinado resto $r$ na divisão por $2021$, com $0 \leq r < 2021$.

Determine todos os valores possíveis de  $\alpha$.

Solucão (por Levi Branco):

Para $r = 0$ é levemente diferente , mas não altera o resultado final.

Perceba que a cada $2020$ números , $2020$ restos distintos aparecem e um deles nunca aparece, assim podemos concluir que $\lfloor\alpha(r + 2020k)\rfloor = r + 2021k + 1$ (tente provar!!)

Mas observe que

$$2020k\alpha + r\alpha \leq \lfloor\alpha(r + 2020k)\rfloor \leq 2020k\alpha + r\alpha + 1 \implies$$

$$2020k\alpha + r\alpha \leq r + 2021k + 1 \leq 2020k\alpha + r\alpha + 1 \implies$$

$$2020\alpha + \dfrac{r\alpha}{k} \leq 2021 + \dfrac{r + 1}{k} \leq 2020\alpha + \dfrac{r\alpha + 1}{k} \implies$$

Pelo teorema do confronto:

$$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} 2020\alpha + \dfrac{r\alpha}{k} \leq \lim_{k \rightarrow \infty} 2021 + \dfrac{r + 1}{k} \leq \lim_{k \rightarrow \infty} 2020\alpha + \dfrac{r\alpha + 1}{k} \implies$$

$$2020\alpha \leq 2021 \leq 2020\alpha \implies$$

$\alpha = \dfrac{2021}{2020}$ que é solução! (verifique (^: )